Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать эквивалентность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=57381
Страница 1 из 1

Автор:  Tottoro [ 20 дек 2017, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Доказать эквивалентность

Всем доброго дня!
Попалось тут такое задание на доказательство:
Доказать, что если функция [math]f\left( x \right)[/math] непрерывна на некотором промежутке [math]\left[ 0; \varepsilon \right)[/math], [math]\varepsilon[/math] [math]> 0[/math] , и [math]f\left( 0 \right)[/math] [math]\ne 0[/math] , то при [math]\alpha < 1[/math] верно асимптотическое равенство:
[math]\int\limits_{0}^{x} \frac{ f\left( x \right) }{ x^{ \alpha } } dx[/math] [math]\sim[/math] [math]\frac{ f\left( 0 \right) }{ 1- \alpha }[/math] [math]x^{1- \alpha }[/math], [math]x ->+0[/math]

Автор:  swan [ 20 дек 2017, 14:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]

Автор:  Tottoro [ 20 дек 2017, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

Я пробовал делать так:
1. Проинтегрировал по частям
[math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^ \alpha } dx[/math] [math]=[/math] [math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]-[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx[/math]
2.Понятно, что
[math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha }[/math]
3. Попытался найти предел от отношения:


[math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } - \int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]\equiv[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]-[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]=[/math]

[math]1[/math] - [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math]

Осталось доказать, что второй предел равен 0(пробовал по Лопиталю) , и с этим возникают проблемы. Возможно, этого вообще нельзя сделать.

Автор:  Tottoro [ 20 дек 2017, 14:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

swan писал(а):
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]


Что в данном случае означают [math]m_\varepsilon[/math] и [math]M_\varepsilon[/math] ?

Автор:  Tottoro [ 20 дек 2017, 14:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

swan писал(а):
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]

\Я так понимаю, что это значит, что [math]f(x)[/math] ограничена на отрезке? и это наибольшее и наименьшее значение данной функции на отрезке?

Автор:  swan [ 20 дек 2017, 14:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю

Автор:  Tottoro [ 20 дек 2017, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

swan писал(а):
Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю

т.е стоит сделать так?
[math]\lim_{ \varepsilon \to +0}[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^{ \alpha } }dx[/math] =[math]\frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha }[/math]?
и это будет доказательством: ?

Автор:  swan [ 20 дек 2017, 18:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

Ваш интеграл от эпсилон не зависит
И, конечно же, это не доказательство

Автор:  Tottoro [ 22 дек 2017, 23:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

swan писал(а):
Ваш интеграл от эпсилон не зависит
И, конечно же, это не доказательство

Думал, думал и надумал вот что
Здесь надо применить каким-то образом обобщенную теорему о среднем для интегралов?

Автор:  swan [ 25 дек 2017, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать эквивалентность

Имеем на отрезке [math][0, \varepsilon][/math]:

[math]\frac{ m_\varepsilon }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ f(x) }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ M_\varepsilon }{ x^ \alpha }[/math]

Интегрируем и устремляем [math]\varepsilon[/math] к нулю. При этом замечаем, что в силу непрерывности [math]m_\varepsilon \to f(0)[/math] и [math]M_\varepsilon \to f(0)[/math]. В итоге получаем нужное нам утверждение.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/