  Математический форум Math Help PlanetОбсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Вход
Регистрация
Альбомы
FAQ
Поиск| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
Математический форум Math Help PlanetОбсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
MathHelpPlanet.com
|
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
  |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1   
|
Всем доброго дня!
Попалось тут такое задание на доказательство: Доказать, что если функция [math]f\left( x \right)[/math] непрерывна на некотором промежутке [math]\left[ 0; \varepsilon \right)[/math], [math]\varepsilon[/math] [math]> 0[/math] , и [math]f\left( 0 \right)[/math] [math]\ne 0[/math] , то при [math]\alpha < 1[/math] верно асимптотическое равенство: [math]\int\limits_{0}^{x} \frac{ f\left( x \right) }{ x^{ \alpha } } dx[/math] [math]\sim[/math] [math]\frac{ f\left( 0 \right) }{ 1- \alpha }[/math] [math]x^{1- \alpha }[/math], [math]x ->+0[/math] |
||
| Вернуться к началу |   |
||
 |
|||
| swan |
|
||
06 дек 2014, 09:11 Сообщений: 4198 Cпасибо сказано: 70 Спасибо получено: 899 раз в 817 сообщениях Очков репутации: 209
|
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]
|
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
Я пробовал делать так:
1. Проинтегрировал по частям [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^ \alpha } dx[/math] [math]=[/math] [math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]-[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx[/math] 2.Понятно, что [math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha }[/math] 3. Попытался найти предел от отношения: [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } - \int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]\equiv[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]-[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]=[/math] [math]1[/math] - [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] Осталось доказать, что второй предел равен 0(пробовал по Лопиталю) , и с этим возникают проблемы. Возможно, этого вообще нельзя сделать. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
swan писал(а): [math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math] Что в данном случае означают [math]m_\varepsilon[/math] и [math]M_\varepsilon[/math] ? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
swan писал(а): [math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math] \Я так понимаю, что это значит, что [math]f(x)[/math] ограничена на отрезке? и это наибольшее и наименьшее значение данной функции на отрезке? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| swan |
|
||
06 дек 2014, 09:11 Сообщений: 4198 Cпасибо сказано: 70 Спасибо получено: 899 раз в 817 сообщениях Очков репутации: 209
|
Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю
|
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
swan писал(а): Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю т.е стоит сделать так? [math]\lim_{ \varepsilon \to +0}[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^{ \alpha } }dx[/math] =[math]\frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha }[/math]? и это будет доказательством: ? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| swan |
|
||
06 дек 2014, 09:11 Сообщений: 4198 Cпасибо сказано: 70 Спасибо получено: 899 раз в 817 сообщениях Очков репутации: 209
|
Ваш интеграл от эпсилон не зависит
И, конечно же, это не доказательство |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| Tottoro |
|
||
26 ноя 2017, 20:28 Сообщений: 10 Cпасибо сказано: 1 Спасибо получено: 0 раз в 0 сообщении Очков репутации: 1
|
swan писал(а): Ваш интеграл от эпсилон не зависит И, конечно же, это не доказательство Думал, думал и надумал вот что Здесь надо применить каким-то образом обобщенную теорему о среднем для интегралов? |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
| swan |
|
||
06 дек 2014, 09:11 Сообщений: 4198 Cпасибо сказано: 70 Спасибо получено: 899 раз в 817 сообщениях Очков репутации: 209
|
Имеем на отрезке [math][0, \varepsilon][/math]:
[math]\frac{ m_\varepsilon }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ f(x) }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ M_\varepsilon }{ x^ \alpha }[/math] Интегрируем и устремляем [math]\varepsilon[/math] к нулю. При этом замечаем, что в силу непрерывности [math]m_\varepsilon \to f(0)[/math] и [math]M_\varepsilon \to f(0)[/math]. В итоге получаем нужное нам утверждение. |
||
| Вернуться к началу | |
||
|
|||
|
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
|
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |
Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved
