Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 13:41 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем доброго дня!
Попалось тут такое задание на доказательство:
Доказать, что если функция [math]f\left( x \right)[/math] непрерывна на некотором промежутке [math]\left[ 0; \varepsilon \right)[/math], [math]\varepsilon[/math] [math]> 0[/math] , и [math]f\left( 0 \right)[/math] [math]\ne 0[/math] , то при [math]\alpha < 1[/math] верно асимптотическое равенство:
[math]\int\limits_{0}^{x} \frac{ f\left( x \right) }{ x^{ \alpha } } dx[/math] [math]\sim[/math] [math]\frac{ f\left( 0 \right) }{ 1- \alpha }[/math] [math]x^{1- \alpha }[/math], [math]x ->+0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 14:00 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3927
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
842 раз в 764 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 14:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я пробовал делать так:
1. Проинтегрировал по частям
[math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^ \alpha } dx[/math] [math]=[/math] [math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]-[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx[/math]
2.Понятно, что
[math]\left.{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }\right|_{ 0 }^{ x }[/math] [math]=[/math] [math]\frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha }[/math]
3. Попытался найти предел от отношения:


[math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } - \int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]\equiv[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{ \frac{ f(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]-[/math] [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math] [math]=[/math]

[math]1[/math] - [math]\lim_{x \to +0}[/math] [math]\frac{\int\limits_{0}^{x} \frac{ f'(x) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha } dx }{ \frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{ 1-\alpha } }[/math]

Осталось доказать, что второй предел равен 0(пробовал по Лопиталю) , и с этим возникают проблемы. Возможно, этого вообще нельзя сделать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 14:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]


Что в данном случае означают [math]m_\varepsilon[/math] и [math]M_\varepsilon[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 14:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
[math]m_\varepsilon \leqslant f(x) \leqslant M_\varepsilon[/math]

\Я так понимаю, что это значит, что [math]f(x)[/math] ограничена на отрезке? и это наибольшее и наименьшее значение данной функции на отрезке?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 14:20 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3927
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
842 раз в 764 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 18:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Да. Зажимайте ее сверху и снизу и устремляйте эпсилон к нулю

т.е стоит сделать так?
[math]\lim_{ \varepsilon \to +0}[/math] [math]\int\limits_{0}^{x}[/math] [math]\frac{ f(x) }{ x^{ \alpha } }dx[/math] =[math]\frac{ f(0) }{ 1- \alpha } x^{1- \alpha }[/math]?
и это будет доказательством: ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 20 дек 2017, 18:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3927
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
842 раз в 764 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваш интеграл от эпсилон не зависит
И, конечно же, это не доказательство

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 22 дек 2017, 23:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
26 ноя 2017, 21:28
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Ваш интеграл от эпсилон не зависит
И, конечно же, это не доказательство

Думал, думал и надумал вот что
Здесь надо применить каким-то образом обобщенную теорему о среднем для интегралов?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Доказать эквивалентность
СообщениеДобавлено: 25 дек 2017, 12:58 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3927
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
842 раз в 764 сообщениях
Очков репутации: 203

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Имеем на отрезке [math][0, \varepsilon][/math]:

[math]\frac{ m_\varepsilon }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ f(x) }{ x^ \alpha } \leqslant \frac{ M_\varepsilon }{ x^ \alpha }[/math]

Интегрируем и устремляем [math]\varepsilon[/math] к нулю. При этом замечаем, что в силу непрерывности [math]m_\varepsilon \to f(0)[/math] и [math]M_\varepsilon \to f(0)[/math]. В итоге получаем нужное нам утверждение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Доказать эквивалентность

в форуме Молекулярная физика и Термодинамика

crazymadman18

0

249

20 июн 2018, 01:15

Доказать эквивалентность

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

SeReBaN

9

509

16 окт 2012, 19:05

Доказать эквивалентность функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sfanter

17

470

22 янв 2016, 18:58

Доказать эквивалентность СДНФ и СКНФ

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Rphoenix

3

154

08 фев 2018, 22:42

Доказать эквивалентность интеграла формуле

в форуме Интегральное исчисление

tetroel

4

418

02 июн 2014, 16:41

Доказать эквивалентность опред Всюду ПЛОТНОГО МНОЖЕСТВА

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

David007

4

301

08 дек 2014, 15:10

Эквивалентность sqr(tg(x))

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Lakersfun

6

203

23 июн 2015, 01:18

Эквивалентность

в форуме Алгебра

DeD

1

104

29 мар 2017, 01:20

Эквивалентность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ket

1

651

02 фев 2014, 21:45

Эквивалентность моделей

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

dona_9

3

160

04 ноя 2016, 16:35


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved