Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти значения параметра, при которых интеграл сходится
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=56552
Страница 1 из 1

Автор:  mathkid [ 09 ноя 2017, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Найти значения параметра, при которых интеграл сходится

Здравствуйте! Такая задачка.
Найти значения параметра [math]\alpha[/math], при которых интеграл [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty }\frac{ x^{\alpha}*cos (x^4) }{ ln(x)} dx (1)[/math] сходится.

Моё решение. [math]\left| \frac{ x^{\alpha}*cos (x^4) }{ ln(x) } \right| \leqslant \frac{x^{\alpha}}{ ln (x) }[/math]
Рассмотрим интеграл [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty }\frac{ x^{\alpha} }{ ln(x) }dx (2)[/math].
Т.к. [math]\frac{ 1 }{ ln (x) }[/math] - монотонная функция по [math]x[/math], а [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty} x^ \alpha }[/math] сходится при [math]\alpha < -1[/math] и расходится при [math]\alpha \geqslant -1[/math], интеграл [math](1)[/math] сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]\alpha \geqslant -1[/math].

Но в ответе должно получиться такое: сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]3\geqslant \alpha \geqslant -1[/math].
Что я упускаю или делаю неправильно в своём решении?

Автор:  Space [ 09 ноя 2017, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти значения параметра, при которых интеграл сходится

mathkid писал(а):
интеграл [math](1)[/math] сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]\alpha \geqslant -1[/math].

Из этого верно лишь то, что при [math]\alpha < -1[/math] интеграл сходится абсолютно по признаку сравнения. Но на каком основании сделан второй вывод?

Кстати, для начала я бы произвел замену [math]t = x^4[/math]. После замены легко применить признак сходимости Дирихле при [math]\alpha \leqslant 3[/math]. Чтобы доказать расходимость при [math]\alpha > 3[/math], скорее всего, придется использовать критерий Коши.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/