Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Найти значения параметра, при которых интеграл сходится http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=56552 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | mathkid [ 09 ноя 2017, 19:28 ] |
Заголовок сообщения: | Найти значения параметра, при которых интеграл сходится |
Здравствуйте! Такая задачка. Найти значения параметра [math]\alpha[/math], при которых интеграл [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty }\frac{ x^{\alpha}*cos (x^4) }{ ln(x)} dx (1)[/math] сходится. Моё решение. [math]\left| \frac{ x^{\alpha}*cos (x^4) }{ ln(x) } \right| \leqslant \frac{x^{\alpha}}{ ln (x) }[/math] Рассмотрим интеграл [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty }\frac{ x^{\alpha} }{ ln(x) }dx (2)[/math]. Т.к. [math]\frac{ 1 }{ ln (x) }[/math] - монотонная функция по [math]x[/math], а [math]\int\limits_{ \pi }^{ \infty} x^ \alpha }[/math] сходится при [math]\alpha < -1[/math] и расходится при [math]\alpha \geqslant -1[/math], интеграл [math](1)[/math] сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]\alpha \geqslant -1[/math]. Но в ответе должно получиться такое: сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]3\geqslant \alpha \geqslant -1[/math]. Что я упускаю или делаю неправильно в своём решении? |
Автор: | Space [ 09 ноя 2017, 22:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Найти значения параметра, при которых интеграл сходится |
mathkid писал(а): интеграл [math](1)[/math] сходится абсолютно при [math]\alpha < -1[/math] и сходится условно при [math]\alpha \geqslant -1[/math]. Из этого верно лишь то, что при [math]\alpha < -1[/math] интеграл сходится абсолютно по признаку сравнения. Но на каком основании сделан второй вывод? Кстати, для начала я бы произвел замену [math]t = x^4[/math]. После замены легко применить признак сходимости Дирихле при [math]\alpha \leqslant 3[/math]. Чтобы доказать расходимость при [math]\alpha > 3[/math], скорее всего, придется использовать критерий Коши. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |