Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Двойной интеграл расходится
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=56454
Страница 1 из 1

Автор:  hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:08 ]
Заголовок сообщения:  Двойной интеграл расходится

Добрый день.
Пытаюсь вычислить следующий двойной интеграл, но по моим расчётам получаю, что интеграл расходится. Прав ли я?

[math]\iint\limits_{ a } \left( x^{2} - y^{2} \right) e^{-xy}dxdy[/math]

По области:
x [math]\geqslant 0[/math] y [math]\leqslant 3[/math] y [math]\geqslant 3x[/math]

Получаю внутренний интеграл по dy:
[math]\iint\limits_{ a } \left( x^{2} - y^{2} \right) e^{-xy}dy[/math]

Решая этот интеграл получаю функцию, у которой в знаменателе стоит x в степени.

Решая внешний интеграл возникает проблема. Дело в том, что внешний интеграл получается от 0 до 1, а наличие в знаменателе x в степени в решении этого интеграла приводит к невозможности решить определённый интеграл.

Как поступают в этом случае? Пишут, что интеграл расходится? Или я ошибся в вычислениях?

Автор:  Avgust [ 03 ноя 2017, 01:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

У меня все нормально проинтегрировалось

[math]\frac 16+\frac{7}{3e^3}\approx 0.2828[/math]

Автор:  hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Avgust писал(а):
У меня все нормально проинтегрировалось

[math]\frac 16+\frac{7}{3e^3}\approx 0.2828[/math]


Может я неправильно выделил внутренний и внешний интеграл.
Не подскажите, какие у вас получились и какие области интегрирования?

Автор:  Avgust [ 03 ноя 2017, 01:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Первый интеграл [math]\int \limits^{0}_{3x}... = {\frac {2 - \left( 8\,{x}^{4}+6\,{x}^{2}+2 \right) {{\rm e}^{-3\,{x}^{2}
}}-{x}^{4}}{{x}^{3}}}[/math]


Изображение

Автор:  hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Небольшое уточнение. Мне казалось, что условие для y:
y [math]\leqslant 3[/math] y [math]\geqslant 3x[/math]
Требуется интервала интегрирования от 3x до 3.
Разве при заданных условиях y может быть меньше 3x?

Автор:  Avgust [ 03 ноя 2017, 01:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Нет! Числа не должно быть. Число автоматически укажет внешний интеграл, принимая x от 0 до 1. При x=1 будет y=3

Автор:  hranitel6 [ 03 ноя 2017, 02:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Понял. Но решая внешний интеграл у меня результат содержит степень x.
То есть с учётом предела интегрирования от 0 до 1 получаем дробь с делением на ноль.

Автор:  Avgust [ 03 ноя 2017, 02:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Двойной интеграл расходится

Предел внешнего неопределенного интеграла при x=0 не равен нулю. Могу доказать:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim((1%2F6)*(-3*x%5E4%2B8*exp(-3*x%5E2)*x%5E2%2B6*exp(-3*x%5E2)-6)%2Fx%5E2,x%3D0)

при x=1
https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim((1%2F6)*(-3*x%5E4%2B8*exp(-3*x%5E2)*x%5E2%2B6*exp(-3*x%5E2)-6)%2Fx%5E2,x%3D1)

Ну, а определенный интеграл:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F6+(-9+%2B+14%2Fe%5E3)%2B5%2F3

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/