Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Двойной интеграл расходится http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=56454 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:08 ] |
Заголовок сообщения: | Двойной интеграл расходится |
Добрый день. Пытаюсь вычислить следующий двойной интеграл, но по моим расчётам получаю, что интеграл расходится. Прав ли я? [math]\iint\limits_{ a } \left( x^{2} - y^{2} \right) e^{-xy}dxdy[/math] По области: x [math]\geqslant 0[/math] y [math]\leqslant 3[/math] y [math]\geqslant 3x[/math] Получаю внутренний интеграл по dy: [math]\iint\limits_{ a } \left( x^{2} - y^{2} \right) e^{-xy}dy[/math] Решая этот интеграл получаю функцию, у которой в знаменателе стоит x в степени. Решая внешний интеграл возникает проблема. Дело в том, что внешний интеграл получается от 0 до 1, а наличие в знаменателе x в степени в решении этого интеграла приводит к невозможности решить определённый интеграл. Как поступают в этом случае? Пишут, что интеграл расходится? Или я ошибся в вычислениях? |
Автор: | Avgust [ 03 ноя 2017, 01:24 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
У меня все нормально проинтегрировалось [math]\frac 16+\frac{7}{3e^3}\approx 0.2828[/math] |
Автор: | hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:28 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Avgust писал(а): У меня все нормально проинтегрировалось [math]\frac 16+\frac{7}{3e^3}\approx 0.2828[/math] Может я неправильно выделил внутренний и внешний интеграл. Не подскажите, какие у вас получились и какие области интегрирования? |
Автор: | Avgust [ 03 ноя 2017, 01:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Первый интеграл [math]\int \limits^{0}_{3x}... = {\frac {2 - \left( 8\,{x}^{4}+6\,{x}^{2}+2 \right) {{\rm e}^{-3\,{x}^{2} }}-{x}^{4}}{{x}^{3}}}[/math] |
Автор: | hranitel6 [ 03 ноя 2017, 01:44 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Небольшое уточнение. Мне казалось, что условие для y: y [math]\leqslant 3[/math] y [math]\geqslant 3x[/math] Требуется интервала интегрирования от 3x до 3. Разве при заданных условиях y может быть меньше 3x? |
Автор: | Avgust [ 03 ноя 2017, 01:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Нет! Числа не должно быть. Число автоматически укажет внешний интеграл, принимая x от 0 до 1. При x=1 будет y=3 |
Автор: | hranitel6 [ 03 ноя 2017, 02:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Понял. Но решая внешний интеграл у меня результат содержит степень x. То есть с учётом предела интегрирования от 0 до 1 получаем дробь с делением на ноль. |
Автор: | Avgust [ 03 ноя 2017, 02:59 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Двойной интеграл расходится |
Предел внешнего неопределенного интеграла при x=0 не равен нулю. Могу доказать: https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim((1%2F6)*(-3*x%5E4%2B8*exp(-3*x%5E2)*x%5E2%2B6*exp(-3*x%5E2)-6)%2Fx%5E2,x%3D0) при x=1 https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim((1%2F6)*(-3*x%5E4%2B8*exp(-3*x%5E2)*x%5E2%2B6*exp(-3*x%5E2)-6)%2Fx%5E2,x%3D1) Ну, а определенный интеграл: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F6+(-9+%2B+14%2Fe%5E3)%2B5%2F3 |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |