Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 16:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 20:44
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста определить при каких a сходится интеграл. Могу решить данную задачу для интеграла с 1 до +бесконечности. Но данный интеграл не понимаю, потому что его видимо надо разбивать на два от 0 до 1 и от 1 до +бесконечности.

[math]\int\limits_{0}^{infinity}[/math][math]\frac{ \ln^a{\operatorname{chx}} }{ {x^{2}*\ln^3({1+\frac{ 1 }{ x } }) } }[/math]

Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 18 окт 2017, 21:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10136
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне думается, что нижний предел все же не чистый ноль, а некая положительная величина. Допустим, 0,01. Наверное в условии опечатка, и принимать нужно 1. (проверьте). Если я прав, то интеграл сходится при [math]a<-2.997666[/math]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(ln(cosh(x))%5E(-2.997666)%2F(x%5E2*ln%5E3(1%2B1%2Fx)),x%3D1..infty)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 19 окт 2017, 00:47 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 20:44
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Условие верное.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 19 окт 2017, 04:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10136
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
murza, ну, не знаю. Формулу в вольфраме дал, поставьте 0 вместо 1 и меняйте степень. Я не нашел ни одного сходящегося решения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 19 окт 2017, 11:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 20:44
Сообщений: 11
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за ответ!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 20 окт 2017, 11:23 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 306
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
107 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С помощью формулы Тейлора и правила Лопиталя получается асимптотическая оценка при [math]x \to +0[/math]:

[math]\frac{(\ln{(\operatorname{ch}(x))})^ \alpha }{x^2 \cdot \left( \ln{(1+ \frac{1}{x} )} \right)^3} \sim \frac{x^{2( \alpha -1)}}{2^{\alpha} \left( \ln{\left( \frac{1}{x} \right) } \right)^3}[/math].

Как время будет, поищу решение. Пока самостоятельно попробуйте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 19:01 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 306
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
107 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На случай, если кто-нибудь еще заинтересован, напишу пару строк.

Обозначим [math]f(x) = \frac{(\ln{(\operatorname{ch}(x))})^ \alpha }{x^2 \cdot \left( \ln{(1+ \frac{1}{x} )} \right)^3}[/math]

Если сделать замену [math]x = e^{-t}[/math] в интеграле [math]\int\limits_{0}^{\frac{1}{2} } f(x) dx[/math], то получим
[math]\int\limits_{0}^{\frac{1}{2} } f(x) dx = \int\limits_{+\infty}^{\ln{2} } f(e^{-t}) d(e^{-t}) = \int\limits_{\ln{2} }^{+\infty} f(e^{-t}) e^{-t} dt[/math].

Как уже выяснили, [math]f(x) \sim \frac{x^{2( \alpha -1)}}{2^{\alpha} \left( \ln{\left( \frac{1}{x} \right) } \right)^3}[/math] при [math]x \to +0[/math], следовательно, при [math]t \to +\infty \,\colon[/math] [math]f(e^{-t}) e^{-t} \sim \frac{e^{-2( \alpha -1)t}e^{-t}}{2^{ \alpha }t^3} = \frac{e^{-(2\alpha -1)t}}{2^{ \alpha }t^3}[/math]. Ясно, что интеграл сходится при [math]\alpha \geqslant \frac{1}{2}[/math], иначе расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
sergebsl
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 22 окт 2017, 21:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10136
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space, а почему Вольфрам такой вариант не берет такой:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(ln(cosh(x))%5E(0.6)%2F(x%5E2*ln%5E3(1%2B1%2Fx)),x%3D0..infty)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 23 окт 2017, 00:10 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10136
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 918
Спасибо получено:
3094 раз в 2697 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То, что при [math]a\ge \frac 12[/math] интеграл расходится, можно доказать и численно. Примем [math]a=0.6[/math] , [math]x \,[/math] от [math]0[/math] до [math]10\,[/math] млн. и вот что в итоге:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=int(ln(cosh(x))%5E(0.6)%2F(x%5E2*ln%5E3(1%2B1%2Fx)),x%3D0..10000000)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: При каких a сходится интеграл
СообщениеДобавлено: 24 окт 2017, 00:29 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 306
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
107 раз в 102 сообщениях
Очков репутации: 21

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Space, а почему Вольфрам такой вариант не берет такой

Потому что Вы интегрируете до бесконечности. А я писал об интеграле [math]\int\limits_{0}^{\frac{1}{2} } \frac{(\ln{(\operatorname{ch}(x))})^ \alpha }{x^2 \cdot \left( \ln{(1+ \frac{1}{x} )} \right)^3} dx[/math]. Посмотрите.
Avgust писал(а):
можно доказать и численно

Это эвристика, но никак не доказательство.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
При каких a сходится интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

1

44

17 окт 2017, 22:11

При каких a сходится интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

crazymadman18

7

168

21 июн 2017, 22:50

Определить при каких a сходится интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

0

35

17 окт 2017, 21:00

Несобственный интеграл с параметром: при каких a сходится

в форуме Интегральное исчисление

Silas

9

313

29 май 2012, 22:33

При каких р ряд сходится?

в форуме Ряды

genia2030

5

75

01 ноя 2017, 13:06

При каких альфа сходится ряд?

в форуме Ряды

_Nikita_93

1

251

24 янв 2015, 21:12

Исследовать при каких a и b ряд сходится

в форуме Ряды

Treasure-trove

3

227

26 янв 2014, 14:33

Сходится ли интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

3

126

28 янв 2016, 18:24

Интеграл сходится или нет

в форуме Интегральное исчисление

CBETAV

7

220

14 янв 2015, 00:02

Интеграл, не сходится с ответом(

в форуме Интегральное исчисление

molotok

4

264

23 дек 2012, 04:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved