Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интеграл сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=55894
Страница 1 из 1

Автор:  Kristopher [ 01 окт 2017, 19:58 ]
Заголовок сообщения:  Интеграл сходимость

Всем привет. Как доказать, что этот интеграл сходиться?
[math]\int\limits_{1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ sin(\frac{ \pi }{ 4 }+x) }{ x}[/math]

Автор:  Andy [ 01 окт 2017, 20:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

Это странный интеграл. В нём не указана переменная интегрирования.

Автор:  michel [ 01 окт 2017, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

Этот интеграл можно оценить сверху суммой [math]\pi \left( 1-\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 3 }-\frac{ 1 }{ 4 }+... \right)[/math], которая сходится по Лейбницу.
Andy писал(а):
Это странный интеграл. В нём не указана переменная интегрирования.

Даже на dxdy.ru не обращают на это внимание

Автор:  Andy [ 01 окт 2017, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

michel писал(а):
Даже на dxdy.ru не обращают на это внимание

И нужно считать это правильным?

Автор:  michel [ 01 окт 2017, 20:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

Когда-то сильно раздражало, но на фоне других сообщений в виде трудно читаемых абракадабр или фоток - это меньшее зло. Кстати в сообщении топикстартера ещё есть орфографическая ошибка - она Вас не смущает?

Автор:  Human [ 01 окт 2017, 21:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

michel писал(а):
Этот интеграл можно оценить сверху суммой [math]\pi \left( 1-\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ 1 }{ 3 }-\frac{ 1 }{ 4 }+... \right)[/math], которая сходится по Лейбницу

Интеграл [math]\int\limits_0^{+\infty}\sin x\,dx[/math] тоже можно оценить сверху двойкой, однако отсюда не следует, что он сходится.
Здесь работает все тот же признак Дирихле.

Автор:  Human [ 01 окт 2017, 21:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

Andy писал(а):
Это странный интеграл. В нём не указана переменная интегрирования.

Andy писал(а):
michel писал(а):
Даже на dxdy.ru не обращают на это внимание

И нужно считать это правильным?

Справедливости ради стоит отметить, что в некоторой (особенно западной) литературе значок дифференциала в интеграле действительно опускается. Есть и более современные отечественные курсы, посвященные интегралу Лебега, где этот символ также не пишется. И ничего страшного в этом нет, поскольку из контекста все равно понятно, по какой переменной ведется интегрирование. Максимум можно возразить, что теряется удобство обозначения при замене переменной. Но простите, то же замечание можно применить и к правилу дифференцирования сложной функции, но никто знак дифференциала к производной же не приписывает.

В конце концов, когда мы пишем [math]f'(x)[/math], ни у кого же не возникает вопроса, по какой переменной здесь идет дифференцирование? Никого ведь не тянет написать здесь [math]f'_x(x)[/math] ? А то вдруг константу дифференцируем. :)

Автор:  michel [ 01 окт 2017, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интеграл сходимость

Да, лучше по Дирихле. Признак Лейбница - частный случай признака Дирихле, для несобственных интегралов не подходит, хотя та же самая идея работает - знакопеременные вклады в интеграл (как и в сумму) убывают по модулю.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/