Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 24 сен 2017, 12:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем привет.
Застопорилась я на одной задаче из курсовой работы. Задача такая:
вычислить интеграл [math]\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{(a^2+x^2)^3}}[/math], где [math]a[/math] - параметр.
И чего я только не перепробовала - и замену переменной, и тригонометрические подстановки, даже разложить дробь - ничего не получается, кроме шестиэтажных дробей. Может, он неберущийся?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 24 сен 2017, 23:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1453
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
532 раз в 496 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Берется прекрасно путем дифференцирования по [math]a^2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 01:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel писал(а):
Берется прекрасно путем дифференцирования по [math]a^2[/math]
michel
Немного не поняла. Как это - дифференцировать по постоянной? А можно поподробнее?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 02:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 12:03
Сообщений: 6055
Cпасибо сказано: 397
Спасибо получено:
3076 раз в 2416 сообщениях
Очков репутации: 655

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Попробуйте сделать замену t=x/sqrt(a^2+x^2). В результате получится интеграл от (1/а^2)*dt

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 05:57 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin писал(а):
Попробуйте сделать замену t=x/sqrt(a^2+x^2). В результате получится интеграл от (1/а^2)*dt
pewpimkin
Сделала такую замену. Ну не получается такой интеграл, хоть убей. Как Вы к нему пришли? Можете пояснить?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 07:40 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia
Посмотрите здесь.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Andy "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 10:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 июн 2017, 12:00
Сообщений: 32
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Andy
А что подразумевается под [math]\tan ^{-1}[/math]? Котангенс?
И Вы использовали онлайн-решатель. А вот как мне было дойти до этого без него, только моим умишком хилым?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 10:16 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3031
Cпасибо сказано: 50
Спасибо получено:
667 раз в 602 сообщениях
Очков репутации: 195

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Корень и сумма(разность) квадратов должны вызывать рефлекс использовать тригонометрическую или гиперболическую (шинус, кошинус) замену.
Поскольку [math]x[/math] может принимать любое значение, то тангенс (подошел бы также и шинус) .
[math]x=a \operatorname{sh} t[/math]

[math]\int \frac{dx}{\sqrt{\left(a^2+x^2\right)^3}}=\int \frac {a\operatorname{ch} t dt}{\sqrt{\left(a^6(1+\operatorname{sh}^2 t\right)^3}}=\int \frac {\operatorname{ch} t dt}{a^2\operatorname{ch}^3 t} =
\int \frac {dt}{a^2\operatorname{ch}^2 t} = \frac1{a^2}\operatorname{th} t + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Claudia
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 11:42 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 09:33
Сообщений: 14754
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 897
Спасибо получено:
3246 раз в 2998 сообщениях
Очков репутации: 620

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia
[math]\operatorname{tan}^{-1}{x}[/math] - это [math]\operatorname{arctg}{x}.[/math] Я онлайн-решателем не пользуюсь, но дал ссылку на него Вам, чтобы Вы рассмотрели один из вариантов решения задачи. О других вариантах Вам уже написали.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл от иррациональной дроби
СообщениеДобавлено: 25 сен 2017, 13:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1453
Cпасибо сказано: 37
Спасибо получено:
532 раз в 496 сообщениях
Очков репутации: 76

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Claudia писал(а):
michel писал(а):
Берется прекрасно путем дифференцирования по [math]a^2[/math]
michel
Немного не поняла. Как это - дифференцировать по постоянной? А можно поподробнее?

У Вас в сообщении было указано, что [math]a[/math] - параметр. А по параметру можно дифференцировать. Чтобы было понятно, заменим [math]p=a^2[/math]. Продифференцируем стандартный интеграл по переменной [math]p[/math]: [math]\int \frac{ dx }{ \sqrt{p+x^2} }=ln\left( x+\sqrt{p+x^2} \right) +C[/math]. Слева получаем[math]\int -\frac{ dx }{ 2\sqrt{(p+x^2)^3} }[/math], справа [math]\frac{1}{ 2 \left( x+\sqrt{p+x^2} \right) \sqrt{(p+x^2)}}[/math]. В результате ответ: [math]\int \frac{ dx }{ \sqrt{(p+x^2)^3} }=\frac{-1}{ \left( x+\sqrt{p+x^2} \right) \sqrt{(p+x^2)}}+C[/math]. Дальше осталось обратно заменить [math]a^2=p[/math].
PS. Этот ответ сильно отличается от вышеприведенных и онлайновых (Вольфрам), но все ответы дают одинаковые значения для определенных интегралов!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл от иррациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

sema

2

177

30 ноя 2011, 14:44

Интеграл от иррациональной дроби

в форуме Интегральное исчисление

Gagarin

4

254

18 авг 2015, 11:55

Интеграл иррациональной дроби (не получается)

в форуме Интегральное исчисление

NOOOOOOOB

5

109

11 апр 2016, 22:57

Интеграл рациональной дроби в иррациональной степени

в форуме Интегральное исчисление

Svennko

3

73

10 окт 2016, 23:00

Вычислить от иррациональной дроби, проверьте

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Vodichka

1

206

14 ноя 2012, 02:57

Интеграл от иррациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

Leronez

3

152

17 дек 2014, 18:10

Интеграл от иррациональной функци

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

5

144

27 окт 2015, 10:41

Интеграл от иррациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

rozd92

5

272

23 апр 2013, 01:43

Вычислите интеграл от иррациональной функции(2)

в форуме Интегральное исчисление

maks1111

2

182

14 фев 2015, 17:14

Вычислить интеграл от иррациональной функции

в форуме Интегральное исчисление

SockOfFate

2

165

18 фев 2015, 16:37


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved