Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 19:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 июл 2017, 18:43
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 19:42 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
27 май 2015, 19:47
Сообщений: 131
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
31 раз в 29 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сначала надо нарисовать область. Что у вас не получается?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 21:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 июл 2017, 18:43
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могу нигде найти материал, чтобы почитать, как решить данный интеграл(похожий), переходя к полярным координатам. Сбивает эта область(D), не могу понять как и куда ее применить при решении данного интеграла.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:04 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Область - обыкновенный круг радиусом R с центром в нуле.
Полярные координаты -
[math]\left\{\begin{aligned} x &= r \cos\varphi\\ y&= r \sin\varphi\end{aligned}\right.[/math]

Подставляем выражения x,y в подынтегральную функцию:
[math]\iint_D \ln(1+r^2)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi[/math]

Косинус с синусом превратились в единицу, в скобках осталась 1 переменная. В подынтегральное выражение добавился якобиан преобразования ([math]r[/math]). Обязательная штука при замене координат. О нём иногда забывают. Переходим к повторному интегралу:
[math]\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_0^R \ln(1+r^2)\cdot r\,\mathrm{d}r[/math]

Правый интеграл - обычный, от одной переменной (что не всегда бывает, но тут у нас область симметричная). Левый интеграл вообще тривиальный, равный [math]2\pi[/math].

Взяв левый интеграл, и умножив его на [math]2\pi[/math] получим искомое решение:
[math]I=\pi \bigl((R^2+1) \ln(R^2+1)-R^2\bigr)[/math]

Вроде так.

P.S. Ну да, проверка методом "грубой силы" (численным интегрированием для прямоугольных координат) даёт 1.213579 (при R=1). Совпадает с полученным решением.


Последний раз редактировалось Xmas 10 июл 2017, 22:30, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали:
Crow
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 июл 2017, 18:43
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Большое спасибо за такое подробное объяснение! А вы можете дать ссылку на статью, чтобы почитать поподробнее о решении схожих примеров? А то не получается найти что-то близкое к моему примеру.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:35 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как же быть с х>=0 и у>=0?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Crow
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:36 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Хм. Насчёт "статьи" не уверен. В учебнике Бугрова Никольского "Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного..." вроде компактно расписано про кратные интегралы. Учебник качается с bookfi - http://bookfi.net/dl/442924/c8c34e

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали:
Crow
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:37 
Не в сети
Мастер
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 мар 2017, 00:16
Сообщений: 206
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
76 раз в 70 сообщениях
Очков репутации: 17

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pewpimkin, ааа, ну да.

Тогда перед решением нужно добавить множитель [math]\frac{1}{4}[/math] (четверть круга).

Соответственно, левый интеграл будет [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}[/math]

Недоглядел. Спасибо за указание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали:
Crow
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам
СообщениеДобавлено: 10 июл 2017, 22:43 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7348
Cпасибо сказано: 472
Спасибо получено:
3620 раз в 2878 сообщениях
Очков репутации: 739

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет1/4 добавлять не надо, а предел Вы правильно указали

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
Crow
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Terrus

4

439

06 дек 2018, 18:59

Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Adelante22

7

1033

11 май 2014, 11:27

Переходя к полярным координатам, определить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

dmitriymarley

7

504

23 сен 2014, 20:24

Переходя к полярным координатам вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Pybanok

1

707

19 апр 2015, 12:32

Переходя к полярным координатам вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Linc

1

127

18 ноя 2021, 19:08

Переходя к полярным координатам,вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Linc

0

110

17 ноя 2021, 19:02

Переходя к полярным координатам вычислить

в форуме Интегральное исчисление

mrShelby

0

371

13 дек 2017, 20:45

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

drashe

26

1830

22 дек 2015, 09:48

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

olga1

3

651

25 дек 2017, 21:27

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

devilknight

1

548

07 май 2014, 20:21


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved