Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Crow |
|
|
|
||
Вернуться к началу | ||
SAVANTOS |
|
|
Сначала надо нарисовать область. Что у вас не получается?
|
||
Вернуться к началу | ||
Crow |
|
|
Не могу нигде найти материал, чтобы почитать, как решить данный интеграл(похожий), переходя к полярным координатам. Сбивает эта область(D), не могу понять как и куда ее применить при решении данного интеграла.
|
||
Вернуться к началу | ||
Xmas |
|
|
Область - обыкновенный круг радиусом R с центром в нуле.
Полярные координаты - [math]\left\{\begin{aligned} x &= r \cos\varphi\\ y&= r \sin\varphi\end{aligned}\right.[/math] Подставляем выражения x,y в подынтегральную функцию: [math]\iint_D \ln(1+r^2)\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\varphi[/math] Косинус с синусом превратились в единицу, в скобках осталась 1 переменная. В подынтегральное выражение добавился якобиан преобразования ([math]r[/math]). Обязательная штука при замене координат. О нём иногда забывают. Переходим к повторному интегралу: [math]\int_0^{2\pi} \mathrm{d}\varphi \int_0^R \ln(1+r^2)\cdot r\,\mathrm{d}r[/math] Правый интеграл - обычный, от одной переменной (что не всегда бывает, но тут у нас область симметричная). Левый интеграл вообще тривиальный, равный [math]2\pi[/math]. Взяв левый интеграл, и умножив его на [math]2\pi[/math] получим искомое решение: [math]I=\pi \bigl((R^2+1) \ln(R^2+1)-R^2\bigr)[/math] Вроде так. P.S. Ну да, проверка методом "грубой силы" (численным интегрированием для прямоугольных координат) даёт 1.213579 (при R=1). Совпадает с полученным решением. Последний раз редактировалось Xmas 10 июл 2017, 22:30, всего редактировалось 1 раз. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали: Crow |
||
Crow |
|
|
Большое спасибо за такое подробное объяснение! А вы можете дать ссылку на статью, чтобы почитать поподробнее о решении схожих примеров? А то не получается найти что-то близкое к моему примеру.
|
||
Вернуться к началу | ||
pewpimkin |
|
|
А как же быть с х>=0 и у>=0?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Crow |
||
Xmas |
|
|
Хм. Насчёт "статьи" не уверен. В учебнике Бугрова Никольского "Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного..." вроде компактно расписано про кратные интегралы. Учебник качается с bookfi - http://bookfi.net/dl/442924/c8c34e
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали: Crow |
||
Xmas |
|
|
pewpimkin, ааа, ну да.
Тогда перед решением нужно добавить множитель [math]\frac{1}{4}[/math] (четверть круга). Соответственно, левый интеграл будет [math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}[/math] Недоглядел. Спасибо за указание. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Xmas "Спасибо" сказали: Crow |
||
pewpimkin |
|
|
Нет1/4 добавлять не надо, а предел Вы правильно указали
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Crow |
||
[ Сообщений: 9 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 30 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |