Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 03:23 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 май 2017, 03:29
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно установить сходится или расходится этот интеграл: Изображение
Нужно использовать 2 теоремы о сравнении:
1)
Изображение
2)
Изображение
Я разбил на 2 интеграла. От 0 до 1 и от 1 до [math]\infty[/math] . От 0 до 1 получилось сходится. А как быть от 1 до [math]\infty[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 16:08 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Возможно, есть и более красивые варианты, но я бы сделал так.
[math]e^x - 1 = e^\frac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}(e^x-1)= e^\frac{x}{2}(e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}})[/math]. Далее [math]\frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )} }{e^x-1} = \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )} }{e^\frac{x}{2}(e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}})} = \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )}}{e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}}} * e^{-\frac{x}{2}}[/math].
[math]\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )}}{e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}}} = 0[/math], тогда [math]\exists a > 1 \,\colon \forall x > a \,\colon 0 < \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )}}{e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}}} < 1[/math], а значит [math]0 < \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )} }{e^x-1} =\frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )}}{e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}}} * e^{-\frac{x}{2}} < e^{-\frac{x}{2}}[/math].
[math]\int\limits_{a}^{+\infty} e^{-\frac{x}{2}}dx[/math] сходится, а, следовательно, сходится и [math]\int\limits_{a}^{+\infty} \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )} }{e^x-1}dx[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Abaranci
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 16:40 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 май 2017, 03:29
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
∃a>1:∀x>a:0<ln(1+x23)ex2−e−x2<1


Немного вот этот момент не понял

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 16:42 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 май 2017, 03:29
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
[math]\exists a > 1 \,\colon \forall x > a \,\colon 0 < \frac{\ln{(1+x^\frac{2}{3} )}}{e^\frac{x}{2} - e^{-\frac{x}{2}}} < 1[/math]

Немного вот этот момент не понял

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 16:47 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
01 май 2017, 03:29
Сообщений: 61
Cпасибо сказано: 21
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это следует из определения предела функции?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)
СообщениеДобавлено: 07 май 2017, 18:17 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, прямо из определения. Только для бесконечных пределов (типа [math]x \to +\infty[/math]) определение имеет несколько другой вид, чем приведенный выше. Хотя, можно составить общее определение, используя понятие [math]\varepsilon[/math]-окрестности, но это не относится к теме.
[math]\lim_{x \to +\infty} f(x) = A[/math] означает, что [math]\forall \varepsilon >0 \,\colon \exists \delta \in \mathbb{R} \,\colon \forall x> \delta \,\colon \left| f(x) - A \right| < \varepsilon[/math].
Для [math]\varepsilon = 1[/math] и получаем требуемое [math]a = \delta[/math]. Думаю, ясно, почему существует такое [math]a > 1[/math]. Если полученное из определения [math]\delta[/math] таково, что [math]\delta \leqslant 1[/math], то неравенство [math]\left| f(x) - A \right| < \varepsilon[/math], разумеется, будет выполнено и для всех [math]x > a[/math], если [math]a > 1 \geqslant \delta[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Abaranci
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

8

314

01 май 2017, 03:45

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

1

172

01 май 2017, 03:41

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

1

194

01 май 2017, 03:48

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

4

227

02 май 2017, 21:23

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

5

300

02 май 2017, 22:07

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

3

248

02 май 2017, 22:16

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

2

180

07 май 2017, 04:24

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

2

207

05 май 2017, 06:05

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

15

478

10 май 2017, 18:14

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

4

400

07 май 2017, 20:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 6


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved