Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Несобственный интеграл (установить сходится или расходится) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=54287 |
Страница 1 из 1 |
Автор: | Abaranci [ 05 май 2017, 06:05 ] |
Заголовок сообщения: | Несобственный интеграл (установить сходится или расходится) |
Нужно установить сходится или расходится этот интеграл: ,интеграл неберущийся Нужно использовать 2 теоремы о сравнении: 1) 2) |
Автор: | Space [ 05 май 2017, 13:38 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится) |
[math]\int\limits_{0}^{+\infty} \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}}dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}}dx + \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}}dx[/math]. На [math](0;1) \,\colon \left|\frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}} \right| \leqslant \frac{1}{2 + \sqrt{x} }[/math], то есть здесь даже особенности нет, функция интегрируема по Риману в собственном смысле. На [math](1;+\infty)[/math] сделаем замену [math]x = \frac{1}{t}[/math], тогда [math]\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}}dx = \int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\sin{(t)}}{2t^2 + t^\frac{3}{2} }dx[/math]. [math]\left|\frac{\sin{(t)}}{2t^2 + t^\frac{3}{2} }\right| \leqslant \frac{1}{2t^2}[/math]. Интеграл сходится. |
Автор: | Space [ 05 май 2017, 20:49 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Несобственный интеграл (установить сходится или расходится) |
Опять ошибся. Пределы интегрирования перепутал. Правильно будет [math]\int\limits_{1}^{+\infty} \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}}dx = \int\limits_{0}^{1} \frac{\sin{(t)}}{2t^2 + t^\frac{3}{2} }dx[/math]. Но можно и без замены. [math]\frac{1}{x^\frac{3}{2} } \slash \frac{\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}{2+\sqrt{x}} \underset{x \to +\infty}{\longrightarrow}1[/math]. Работает признак сравнения в предельной форме. |
Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |