Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тройные интегралы
СообщениеДобавлено: 18 апр 2017, 15:51 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 апр 2017, 15:32
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Уважаемые,помогите разобраться с одним примером.
Найти объём тела ,ограниченного сферой :
[math]x^{2}+ y^{2}+ z^{2}= 3\cdot a^{2}[/math]
И параболоидом: [math]x^{2}+y^{2}=2\cdot a\cdot z[/math]
Перейти в цилиндрическую систему координат.
Буду очень вам благодарна!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тройные интегралы
СообщениеДобавлено: 21 апр 2017, 20:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для начала найдите проекцию тела на плоскость [math]Oxy[/math], для чего нужно решить систему уравнений

[math]\begin{cases}x^2+y^2+z^2=3a^2,\\ x^2+y^2=2az,\end{cases}[/math] решая которую относительно [math]x^2+y^2[/math], найдете [math]x^2+y^2=2a^2[/math],

то есть проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является круг [math]x^2+y^2\leqslant 2a^2[/math] с радиусом [math]a\sqrt{2}[/math] и центром в начале координат.
Тогда область интегрирования можно записать следующим образом

[math]T= \left\{x^2+y^2\leqslant 2a^2,~ \frac{x^2+y^2}{2a}\leqslant z \leqslant \sqrt{3a^2-x^2-y^2}\right\}[/math]

В цилиндрических координатах [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\ z=z\end{cases}[/math] область интегрирования имеет вид

[math]T^{\ast}= \left\{0\leqslant \varphi\leqslant 2\pi,~ 0\leqslant r\leqslant a\sqrt{2},~ \frac{r^2}{2a}\leqslant z\leqslant \sqrt{3a^2-r^2}\right\}[/math]

Тогда искомый объем

[math]V= \iiint\limits_{T}dxdydz = \iiint\limits_{T^{\ast}}r\,dzdrd\varphi= \int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi \int\limits_{0}^{a\sqrt{2}}r\,dr \int\limits_{\tfrac{r^2}{2a}}^{\sqrt{3a^2-r^2}}dz=\ldots= \frac{a^3\pi}{3}(6\sqrt{3}-5)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

Nazzariy21

1

197

01 дек 2022, 23:15

Тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

qwertyuiop

1

457

24 фев 2016, 19:40

Тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

PLVKA_

1

202

12 ноя 2020, 13:26

Тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

dndnds

1

464

17 сен 2016, 15:20

Тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

trushovich

5

495

01 май 2016, 15:32

Двойные и тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

0730574

2

338

15 окт 2021, 23:31

Задачи на тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

neeara

0

227

22 май 2018, 09:28

Вычислить данные тройные интегралы

в форуме Интегральное исчисление

IJAII_11

1

237

27 фев 2021, 16:45

Вычислить данные тройные интегралы. Построить область

в форуме Интегральное исчисление

StrangeOrange

3

455

30 окт 2017, 21:23

Тройные интергалы

в форуме Интегральное исчисление

Leniza

0

152

29 май 2017, 14:09


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: aleksashlc и гости: 26


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved