Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 06:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 дек 2016, 16:46
Сообщений: 13
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Подскажите с чего начать решение интеграла
Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 08:40 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 440
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
100 раз в 97 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Перепишите аккуратно второй пример.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 08:44 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 440
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
100 раз в 97 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Первый пример решается с помощью универсальной тригонометрической замены [math]\operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } = t[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 08:48 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 440
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
100 раз в 97 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отсюда, [math]\sin{x} =\frac{ 2t }{ 1+t^2 }[/math], [math]x = 2 \operatorname{arctg}t[/math] и [math]d x =\frac{ 2 }{ 1+t^2} dt[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 09:11 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 440
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
100 раз в 97 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Но, если в лоб решать, то получится интеграл от непростой рациональной дроби, которую нужно будет интегрировать с помощью разложения дроби в сумму простейших (элементарных) дробей.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Совет в решении неопределенного интеграла
СообщениеДобавлено: 18 янв 2017, 10:07 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 03:01
Сообщений: 440
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 23
Спасибо получено:
100 раз в 97 сообщениях
Очков репутации: 20

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Поэтому, начала преобразуем подинтегральную функцию, а потом уже вычислим интграл.

[math]\int \frac{ \sin{x} }{ 1-\sin{x} } d x = \int \frac{ \left( \sin{x} - 1 \right) + 1 }{ 1-\sin{x} } d x = \int \left( \frac{ \sin{x} - 1 }{ 1-\sin{x} } + \frac{ 1 }{ 1-\sin{x} } \right) d x= \int \left( -1+ \frac{ 1 }{ 1-\sin{x} } \right) d x =[/math]

[math]=-\int d x + \int \frac{ d x }{ 1-\sin{x} } = \left[ \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } } = t;\, \sin{x} =\frac{ 2t }{ 1+t^2 };\, x = 2 \operatorname{arctg}t;\, d x =\frac{ 2 }{ 1+t^2} d t \right] =[/math]

[math]=-x + \int \frac{ 1 }{ 1- \frac{ 2t }{ 1+t^2 } } \cdot \frac{ 2 }{ 1+t^2 } d t = -x + 2 \int \frac{ 1 }{ 1+t^2 -2t } d t = -x + 2 \int \frac{ 1 }{ \left( t-1 \right)^2 } d t = -x + 2 \int \left( t-1 \right)^{-2} d t =[/math]

[math]=-x+2\frac{ \left( t-1 \right)^{-1} }{ -1 } + C = -x -\frac{ 2 }{ t-1 } + C =-x -\frac{ 2 }{ \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }-1 } + C = - x + \frac{ 2 }{1- \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }}+ C =\frac{ 2 }{1- \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }} -x + C[/math], [math]C \in \mathbb{R}[/math].

Ответ: [math]\frac{ 2 }{1- \operatorname{tg}{\frac{ x }{ 2 } }} -x + C[/math], [math]C \in \mathbb{R}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Дифференцирование неопределённого интеграла

в форуме Интегральное исчисление

bella0816

6

309

26 фев 2012, 11:17

Решение неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

AnastasiaA

1

280

09 окт 2013, 13:18

Вычисление неопределённого интеграла

в форуме Интегральное исчисление

eurydyka

3

134

13 фев 2018, 18:15

Вычисление неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

koshkin

1

144

29 янв 2016, 23:57

Разновидность неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Platon

1

67

10 дек 2016, 22:46

Вычисление неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

SheLdeR_856

3

88

02 май 2018, 21:47

Решение неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

sweetkiwi

6

228

18 мар 2014, 19:10

Нахождение неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

valya21

4

130

09 июн 2014, 13:53

Решение неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Nerzhul92

8

213

20 мар 2014, 20:09

Подробное решение неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

aburame

1

125

03 июн 2015, 14:37


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved