Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
sapog33 |
|
|
Помогите, пожалуйста, с решением.(Или же найти ошибку в моём решении) Вычислить площадь части поверхности цилиндра [math]^{x^2+y^2=2ax}[/math] содержащейся между плоскостью Oxy и конусом [math]^{x^2+y^2-z^2=0}[/math] Находим пределы по x y. [math]0\leqslant x \leqslant 2a[/math] [math]-a \leqslant y \leqslant a[/math] [math]s=ss\sqrt{1+z_{x}^{'}+z_{y}^{'} }[/math] [math]z= \pm \sqrt{x^{2}+y^{2} }[/math] при вычислении интеграла и умножении на 2, т.к. [math]\pm[/math] получается [math]8\sqrt{2}a^{2}[/math], а в ответе просто [math]8a^{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Здравствуйте. Ваша поверхность не конус, а цилиндр. Поэтому Вам надо найти производные от функции
[math]x(y,z)=\sqrt{2ay-y2}[/math] Получаем [math]dS=\sqrt{1+(x_y')^2+(x_z')^2}dA=...=\frac{a}{\sqrt{2ay-y^2}}dA[/math] Как Вы верно заметили, [math]y\in[0;2a][/math]. Легко находим интервал изменения [math]z[/math]: [math]z\in[0;\sqrt{2ay}][/math] Следовательно, [math]A=2\int_0^{2a}[\int_0^{\sqrt{2ay}}\frac{a}{\sqrt{2ay-y^2}}dz]dy=...=8a^2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: sapog33 |
||
slava_psk |
|
|
SzaryWilk
Поделитесь, пожалуйста, как вы получили такую функцию x(y,z). Потом [math]y\in\left[ -a,a \right][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
slava_psk |
|
|
В цилиндрических координатах уравнение данного цилиндра будет [math]r=2a\cos{ \varphi }[/math] Так как конус и [math]z^{2}=r^{2}[/math]. Учитывая симметрию вырезаемой конусом поверхности относительно плоскости z0x, можем записать, например для y>0 [math]z=2a\cos{ \varphi }[/math]; [math]\varphi= \arccos{\frac{ z }{ 2a } }[/math] Пусть l(z) - длина дуги в сечении нашей поверхности плоскостью z-const. Тогда искомую площадь можно записать как:
[math]S=2\int\limits_{0}^{2a}l(z)dz=2\int\limits_{0}^{2a}dz \int\limits_{0}^{\arccos{\frac{ z }{ 2a } }}\sqrt{r^{2}+\left( r^{'} \right) ^{2} } d \varphi=4a\int\limits_{0}^{2a}\arccos{\frac{ z }{ 2a } }dz=8a^{2}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 4 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 37 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |