Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Несобственный интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=50648
Страница 1 из 1

Автор:  Adel2015 [ 23 окт 2016, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Несобственный интеграл

Как решить?
[math]\int\limits_{0}^{ \infty }[/math][math]e^{-x}[/math] [math]\cdot sinx[/math] dx

Автор:  Space [ 23 окт 2016, 23:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Можно дважды воспользоваться формулой интегрирования по частям и проявить немного смекалки.
[math]\mathfrak{I} = \int e^{-x}\sin{x}dx = - \int \sin{x}d\left( e^{-x} \right) = -e^{-x}\sin{x} + \int e^{-x}\cos{x}dx = -e^{-x}\sin{x} - \int \cos{x}d\left( e^{-x} \right) =[/math] [math]= -e^{-x}\sin{x} -e^{-x}\cos{x} + \int e^{-x}\sin{x}dx = -e^{-x}(\sin{x} +\cos{x}) - \mathfrak{I}[/math].
Выразим [math]\mathfrak{I}[/math] через все остальное.
[math]2\mathfrak{I} = -e^{-x}(\sin{x} +\cos{x}) \Rightarrow \mathfrak{I} = -\frac{e^{-x}}{2}(\sin{x} +\cos{x})[/math].
Далее следует воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница.

Автор:  Space [ 24 окт 2016, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

В четвертой строке моего предыдущего сообщения опечатка. Перед знаком интеграла должен стоять минус.

Автор:  Adel2015 [ 24 окт 2016, 10:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Спасибо, это как раз не составило труда при решении, затрудняюсь в дальнейшем решении :)

Автор:  Space [ 25 окт 2016, 18:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Несобственный интеграл

Если Вы знакомы с формулой Ньютона-Лейбница и определением несобственного интеграла, то подстановка первообразной в формулу не должна вызвать затруднения.
[math]\int\limits_{0}^{+\infty} e^{-x}\sin{x}dx = \lim_{x \to +\infty} \left.{\mathfrak{I}}\right|_{ 0 }^{ x } = \lim_{x \to +\infty} -\frac{e^{-x}}{2}(\sin{x} +\cos{x}) + \frac{ 1 }{ 2 } = \frac{ 1 }{ 2 }[/math].

И еще. При написании вопроса можно сразу указывать, в каком именно месте решение вызвало трудности.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/