Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл
СообщениеДобавлено: 23 июн 2016, 12:12 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 x}{a^2-2ab\cos x+b^2}dx, a,b>0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 24 июн 2016, 07:29 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 21:20
Сообщений: 303
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 16
Спасибо получено:
5 раз в 5 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
jagdish писал(а):
[math]\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 x}{a^2-2ab\cos x+b^2}dx, a,b>0[/math]

интересный пример

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 24 июн 2016, 08:25 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
15 мар 2016, 15:08
Сообщений: 9421
Cпасибо сказано: 123
Спасибо получено:
1732 раз в 1640 сообщениях
Очков репутации: 235

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
God_mode_2016 писал(а):
интересный пример

Конечно. Если вы на первом курсе учитесь, можете попробовать универсальную тригонометрическую подстановку: тангенс половинного угла. Топик-стартеру можно посоветовать подстановку [math]t=e^{ix}[/math] и свести наш интеграл к интегралу по единичной окружности в [math]C[/math]. (Тут ещё может помочь, что функция симметрична относительно [math]\pi[/math]. Можно считать интеграл от [math]0[/math] до [math]2\pi[/math] и поделить пополам.) Дальше применить вычеты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 24 июн 2016, 16:35 
Не в сети
Свет и истина
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 мар 2010, 11:03
Сообщений: 7479
Cпасибо сказано: 526
Спасибо получено:
3644 раз в 2901 сообщениях
Очков репутации: 745

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получилось так

Изображение
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали:
jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 25 июн 2016, 00:59 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
jagdish, рассмотрите мнимую часть геометрической прогрессии с членом [math]\rho^k \exp(ikx).[/math] Выход на ваш интеграл после этого очевиден и производится в два шага.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 25 июн 2016, 09:36 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1214
Cпасибо сказано: 298
Спасибо получено:
690 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 154

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У меня получился необычный результат - интеграл не зависит от меньшего параметра:
[math]\int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}dx = \frac{\pi}{{2{a^2}}},\quad a \geqslant b > 0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 25 июн 2016, 10:53 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13564
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если принять a=2 и b=3 то
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Int(sin%5E2(x)%2F(4-2*6*cos(x)%2B9),x%3D0..pi)

Вот проверьте свои формулы

У меня более неожиданный результат

[math]\frac{\pi}{2\cdot [max(a , b)]^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 29 июл 2016, 13:48 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
12 дек 2010, 20:32
Сообщений: 544
Cпасибо сказано: 306
Спасибо получено:
28 раз в 23 сообщениях
Очков репутации: 7

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
I have tried Like this way::

Using the formula [math]a^2+b^2-ab\cos C = c^2\;,[/math] Now If [math]C\leftrightarrow x\;,[/math] Then [math]a^2+b^2-2ab\cos x= c^2[/math]

So Integral Convert into [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 C}{c^2}dC\;,[/math] Now Using Sin formula [math]\displaystyle \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a}.[/math]

So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dC\;,[/math] Now [math]A+B+C = \pi\;,[/math] Then [math]dC = 0-dA-dB[/math]

Now when [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow \pi[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math]

When [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow 0[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math]

So [math]\displaystyle I = \int_{\pi}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dA)+\int_{0}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dB)[/math]

So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dA = \frac{2}{2a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[1-\cos 2A\right]dA = \frac{\pi}{2a^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю jagdish "Спасибо" сказали:
Li6-D
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 31 июл 2016, 16:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
10 дек 2014, 20:21
Сообщений: 1214
Cпасибо сказано: 298
Спасибо получено:
690 раз в 551 сообщениях
Очков репутации: 154

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Замечательный способ использовать геометрию треугольника и теорему синусов для нахождения интегралов вида [math]\int\limits_0^\pi{F\left({\frac{{\sin x}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}}\right)}dx[/math]!
Насколько понял, были рассмотрены треугольники с фиксированными длинами сторон a>b и углом С ними, меняющимся от 0 до 180°.

Например, довольно легко получить такой интеграл, который зависит только от меньшего параметра:
[math]\int\limits_0^\pi{\frac{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}+ ab\sin x}}}dx = \frac{{2\arccos \left( b \right)}}{{\sqrt{1 -{b^2}}}},\;\;a \geqslant b \geqslant 0;\;b < 1.[/math]

Попробуйте проверить эту формулу вольфрамом.

▼ Я находил интеграл ТС намного сложнее:
Пусть [math]a > b > 0,\;k = \frac{b}{a}< 1[/math] (1).
Сначала рассмотрим интеграл [math]\frac{1}{{{a^2}}}I(k) = \frac{1}{{{a^2}}}\int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{1 +{k^2}- 2k\cos x}}}= \int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}[/math].
[math]I(k) = \int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{1 +{k^2}- 2k\cos x}}}= \left({x = \pi - y}\right) = \int\limits_0^\pi{\frac{{dy}}{{1 +{k^2}+ 2k\cos y}}}.[/math]
Среднее арифметическое двух представлений этого интеграла равно:
[math]I(k) = \left({1 +{k^2}}\right)\int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{{{\left({1 +{k^2}}\right)}^2}- 4{k^2}{{\cos}^2}x}}}= \left({1 +{k^2}}\right)\int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{1 +{k^4}- 2{k^2}\cos 2x}}}=[/math]
[math]= \left({y = 2x}\right) = \frac{{1 +{k^2}}}{2}\left({\int\limits_0^\pi{\frac{{dy}}{{1 +{k^4}- 2{k^2}\cos y}}}+ \int\limits_\pi ^{2\pi}{\frac{{dy}}{{1 +{k^4}- 2{k^2}\cos y}}}}\right) = \left({1 +{k^2}}\right)I({k^2}).[/math]
Таким образом, получили рекуррентную формулу и можно записать: [math]I(k) = \prod\limits_{Z = 1}^N{(1 +{k^{{2^Z}}})}\cdot I({k^{{2^Z}}}) = \frac{{1 -{k^{{2^{N + 1}}}}}}{{1 -{k^2}}}\cdot I({k^{{2^N}}}).[/math]
Если [math]N \to \infty[/math], [math]I(k) = \frac{1}{{1 -{k^2}}}\cdot I(0) = \frac{\pi}{{1 -{k^2}}}[/math], поэтому: [math]\int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}= \frac{1}{{{a^2}}}\frac{\pi}{{1 -{k^2}}}= \frac{\pi}{{{a^2}-{b^2}}}.[/math]
Заметим, что это справедливо для условия (1).

Теперь применим те же самые приемы к заданному интегралу и сведем его уже к вышерассмотренному:
[math]\int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}dx = \int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{{a^2}+ 2ab\cos x +{b^2}}}}dx = ({a^2}+{b^2})\int\limits_0^\pi{\frac{{1 -{{\cos}^2}x}}{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}- 4{a^2}{b^2}{{\cos}^2}x}}}dx =[/math]
[math]= ({a^2}+{b^2})\left({\int\limits_0^\pi{\frac{{\frac{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}}}{{4{a^2}{b^2}}}-{{\cos}^2}x}}{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}- 4{a^2}{b^2}{{\cos}^2}x}}}dx - \int\limits_0^\pi{\frac{{\frac{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}}}{{4{a^2}{b^2}}}- 1}}{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}- 4{a^2}{b^2}{{\cos}^2}x}}}dx}\right) =[/math]
[math]= \frac{{\pi ({a^2}+{b^2})}}{{4{a^2}{b^2}}}({a^2}+{b^2}) - \frac{{{{\left({{a^2}-{b^2}}\right)}^2}}}{{4{a^2}{b^2}}}\left({{a^2}+{b^2}}\right)\int\limits_0^\pi{\frac{{dx}}{{{{\left({{a^2}+{b^2}}\right)}^2}- 4{a^2}{b^2}{{\cos}^2}x}}}= \frac{{\pi ({a^2}+{b^2})}}{{4{a^2}{b^2}}}({a^2}+{b^2}) -[/math]
[math]- \frac{{{{\left({{a^2}-{b^2}}\right)}^2}}}{{4{a^2}{b^2}}}\frac{{1 +{k^2}}}{{{a^2}}}I({k^2}) = \frac{{\pi ({a^2}+{b^2})}}{{4{a^2}{b^2}}}- \frac{{{{\left({{a^2}-{b^2}}\right)}^2}}}{{4{a^2}{b^2}}}\frac{\pi}{{{a^2}-{b^2}}}= \frac{\pi}{{2{a^2}}}.[/math]

Случай, когда [math]b > a > 0[/math] равносилен замене индексов параметров интеграла, который будет равен [math]\frac{\pi}{{2{b^2}}}[/math].
При [math]a = b[/math] имеем: [math]\frac{1}{{{a^2}}}\int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{2 - 2\cos x}}}dx = \frac{1}{{2{a^2}}}\int\limits_0^\pi{\left({1 + \cos x}\right)}dx = \frac{\pi}{{2{a^2}}}.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали:
Hans Fuller, jagdish
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл
СообщениеДобавлено: 01 авг 2016, 23:06 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 фев 2016, 03:17
Сообщений: 21
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
4 раз в 3 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum p^k \sin kx = \Im \frac{1}{1-p \exp(ikx)} =\frac{p \sin x}{1-2p \cos x + p^2}, \, p^2<1.[/math]
Отсюда, с использованием свойства ортогональности системы тригонометрических функций:
[math]\int \limits_0^\pi \frac{\sin x \sin nx dx}{1-2p \cos x + p^2}=\sum p^{k-1} \int \limits_0^\pi \sin kx \sin nx dx = \frac{\pi}{2} p^{n-1}.[/math]
Полагая [math]n=1, \, p=\frac{b}{a}[/math] при [math]b<a[/math], получим искомый результат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Hans Fuller "Спасибо" сказали:
jagdish
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 10 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)

в форуме Интегральное исчисление

Mephisto

3

274

06 июл 2022, 22:50

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

3

707

18 янв 2015, 17:23

Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл

в форуме Интегральное исчисление

natalee

1

824

18 янв 2015, 17:23

Определенный интеграл и несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

VxVxN

11

1024

14 апр 2015, 20:58

Вычислить интеграл, Кратный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

PUFFIN

4

579

25 апр 2020, 15:39

Несобственный интеграл, двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

alexmilki

8

620

16 апр 2017, 21:43

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ilmir254

1

107

25 май 2020, 19:39

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

nazik

1

104

08 апр 2018, 16:32

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Alexand

5

215

20 май 2020, 14:38

Интеграл

в форуме Интегральное исчисление

jagdish

2

389

11 фев 2019, 17:08


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved