Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| jagdish |
|
|
|
|
||
| Вернуться к началу | ||
| God_mode_2016 |
|
|
|
jagdish писал(а): [math]\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 x}{a^2-2ab\cos x+b^2}dx, a,b>0[/math] интересный пример |
||
| Вернуться к началу | ||
| searcher |
|
|
|
God_mode_2016 писал(а): интересный пример Конечно. Если вы на первом курсе учитесь, можете попробовать универсальную тригонометрическую подстановку: тангенс половинного угла. Топик-стартеру можно посоветовать подстановку [math]t=e^{ix}[/math] и свести наш интеграл к интегралу по единичной окружности в [math]C[/math]. (Тут ещё может помочь, что функция симметрична относительно [math]\pi[/math]. Можно считать интеграл от [math]0[/math] до [math]2\pi[/math] и поделить пополам.) Дальше применить вычеты. |
||
| Вернуться к началу | ||
| pewpimkin |
|
|
|
У меня получилось так
![]() ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: jagdish |
||
| Hans Fuller |
|
|
|
jagdish, рассмотрите мнимую часть геометрической прогрессии с членом [math]\rho^k \exp(ikx).[/math] Выход на ваш интеграл после этого очевиден и производится в два шага.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Li6-D |
|
|
|
У меня получился необычный результат - интеграл не зависит от меньшего параметра:
[math]\int\limits_0^\pi{\frac{{{{\sin}^2}x}}{{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}dx = \frac{\pi}{{2{a^2}}},\quad a \geqslant b > 0[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Если принять a=2 и b=3 то
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Int(sin%5E2(x)%2F(4-2*6*cos(x)%2B9),x%3D0..pi) Вот проверьте свои формулы У меня более неожиданный результат [math]\frac{\pi}{2\cdot [max(a , b)]^2}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| jagdish |
|
|
|
I have tried Like this way::
Using the formula [math]a^2+b^2-ab\cos C = c^2\;,[/math] Now If [math]C\leftrightarrow x\;,[/math] Then [math]a^2+b^2-2ab\cos x= c^2[/math] So Integral Convert into [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 C}{c^2}dC\;,[/math] Now Using Sin formula [math]\displaystyle \frac{\sin C}{c} = \frac{\sin A}{a}.[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dC\;,[/math] Now [math]A+B+C = \pi\;,[/math] Then [math]dC = 0-dA-dB[/math] Now when [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow \pi[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math] When [math]C\rightarrow 0,[/math] Then [math]A\rightarrow 0[/math] and [math]B\rightarrow 0[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{\pi}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dA)+\int_{0}^{0}\frac{\sin^2 A}{a^2}(-dB)[/math] So [math]\displaystyle I = \int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 A}{a^2}dA = \frac{2}{2a^2}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left[1-\cos 2A\right]dA = \frac{\pi}{2a^2}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю jagdish "Спасибо" сказали: Li6-D |
||
| Li6-D |
|
|
|
Замечательный способ использовать геометрию треугольника и теорему синусов для нахождения интегралов вида [math]\int\limits_0^\pi{F\left({\frac{{\sin x}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}}\right)}dx[/math]!
Насколько понял, были рассмотрены треугольники с фиксированными длинами сторон a>b и углом С ними, меняющимся от 0 до 180°. Например, довольно легко получить такой интеграл, который зависит только от меньшего параметра: [math]\int\limits_0^\pi{\frac{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}}}{{\sqrt{{a^2}- 2ab\cos x +{b^2}}+ ab\sin x}}}dx = \frac{{2\arccos \left( b \right)}}{{\sqrt{1 -{b^2}}}},\;\;a \geqslant b \geqslant 0;\;b < 1.[/math] Попробуйте проверить эту формулу вольфрамом. ▼ Я находил интеграл ТС намного сложнее:
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Li6-D "Спасибо" сказали: Hans Fuller, jagdish |
||
| Hans Fuller |
|
|
|
[math]\sum p^k \sin kx = \Im \frac{1}{1-p \exp(ikx)} =\frac{p \sin x}{1-2p \cos x + p^2}, \, p^2<1.[/math]
Отсюда, с использованием свойства ортогональности системы тригонометрических функций: [math]\int \limits_0^\pi \frac{\sin x \sin nx dx}{1-2p \cos x + p^2}=\sum p^{k-1} \int \limits_0^\pi \sin kx \sin nx dx = \frac{\pi}{2} p^{n-1}.[/math] Полагая [math]n=1, \, p=\frac{b}{a}[/math] при [math]b<a[/math], получим искомый результат. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Hans Fuller "Спасибо" сказали: jagdish |
||
|
[ Сообщений: 10 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Криволинейный интеграл второго порядка(Интеграл работы)
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
274 |
06 июл 2022, 22:50 |
|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
707 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Неопределенный интеграл. скажите , как решать интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
824 |
18 янв 2015, 17:23 |
|
|
Определенный интеграл и несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
1024 |
14 апр 2015, 20:58 |
|
|
Вычислить интеграл, Кратный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
579 |
25 апр 2020, 15:39 |
|
|
Несобственный интеграл, двойной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
620 |
16 апр 2017, 21:43 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
107 |
25 май 2020, 19:39 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
104 |
08 апр 2018, 16:32 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
215 |
20 май 2020, 14:38 |
|
|
Интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
389 |
11 фев 2019, 17:08 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |