Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=4713
Страница 5 из 6

Автор:  erjoma [ 30 мар 2011, 00:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

lexus666 писал(а):
erjoma пример который Вы привели относится к "следите внимательно за пределами", но не говорит о том "какую замену делаете". Или я не прав?


Все дело в том, что тангенс разрывен в точке [math]\pi/2[/math].

Вот другой пример:
[math]\int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \left( \begin{gathered}
1 - {x^2} = t \hfill \\ dx = -\frac{{dt}}
{{2\sqrt {1 - t} }} \hfill \\ \end{gathered} \right) = -\int\limits_0^0 {\frac{{\sqrt t }}
{{2\sqrt {1 - t} }}dt} = 0[/math]

Автор:  erjoma [ 30 мар 2011, 01:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

[math]\int\limits_0^\pi {dx} = \left( \begin{gathered}
t = \sin \left( x \right) \hfill \\ dt = \cos \left( x \right)dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \int\limits_0^0 \frac{dt}{\sqrt {1 - {t^2}} } = 0[/math]

Автор:  lexus666 [ 30 мар 2011, 10:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma писал(а):
lexus666 писал(а):
erjoma пример который Вы привели относится к "следите внимательно за пределами", но не говорит о том "какую замену делаете". Или я не прав?


Все дело в том, что тангенс разрывен в точке [math]\pi/2[/math].

Вот другой пример:
[math]\int\limits_{ - 1}^1 {\sqrt {1 - {x^2}} dx} = \left( \begin{gathered}
1 - {x^2} = t \hfill \\ dx = -\frac{{dt}}
{{2\sqrt {1 - t} }} \hfill \\ \end{gathered} \right) = -\int\limits_0^0 {\frac{{\sqrt t }}
{{2\sqrt {1 - t} }}dt} = 0[/math]

Ваш первый пример и последний не очень убедительны (по крайней мере для меня :D1 )

[math]\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=2\int_{-1}^{0}\sqrt{1-x^2}dx=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{\pi}{2}[/math]

Все же замену можно делать любую какую удобно, но надо как Вы правильно заметили выбирать однозначную ветвь.

Автор:  nikita0008 [ 30 мар 2011, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

Да у вас тут дискуссия)

Автор:  mad_math [ 30 мар 2011, 14:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

таки да, программа ошиблась. снимаю свои претензии.

Автор:  mad_math [ 30 мар 2011, 14:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

nikita0008, интеграл всё таки равен [math]\frac{8}{9}[/math]. извините, что ввела в заблуждение.

Автор:  nikita0008 [ 30 мар 2011, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

mad_math
да нечего страшного :)

Автор:  erjoma [ 30 мар 2011, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

lexus666 писал(а):
Ваш первый пример и последний не очень убедительны (по крайней мере для меня :D1 )
[math]\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=2\int_{-1}^{0}\sqrt{1-x^2}dx=\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{t}}{\sqrt{1-t}}dt=\frac{\pi}{2}[/math]

Но подобным образом первоначально вычислен интеграл [math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)^3 xdx}[/math]
[math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)^3 xdx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^2} - 1} \right) ^3xdx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)^3xdx}[/math]
делая замену [math]t = {x^2} - 1[/math] во всех интегралах, получаем:

[math]\int\limits_1^3 {\frac{{{t^3}}}{2}dt} = \int\limits_0^0 {\frac{{{t^3}}}{2}dt} + \int\limits_1^3 {\frac{{{t^3}}}{2}dt}[/math]
ответ совпадает с правильным потому, что подынтегральная функция нечетная.

lexus666 писал(а):
Все же замену можно делать любую какую удобно, но надо как Вы правильно заметили выбирать однозначную ветвь.

По этому поводу :
Изображение

Автор:  lexus666 [ 30 мар 2011, 22:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma сейчас поясню, что я имел ввиду. Есть интеграл [math]\int_a^bf(x)dx[/math], мы хотим сделать замену [math]x=\phi(t)[/math]. При этом функция [math]\phi(t)[/math] однозначна и непрерывна на интервале [math](\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(c))[/math] и [math](\phi^{-1}(c),\phi^{-1}(b))[/math] (но на этих интервалах чем то отличается, ну скажем знаком или еще чем нибудь), тогда мы получаем:

[math]\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(c)}f(\phi(t))\phi'(t)dt+\int_{\phi^{-1}(c)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)dt[/math]

т. е. разбиваем на несколько интервалов где функция однозначна и непрерывна. В чем я не прав?

Автор:  erjoma [ 31 мар 2011, 03:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

lexus666 писал(а):
erjoma сейчас поясню, что я имел ввиду. Есть интеграл [math]\int_a^bf(x)dx[/math], мы хотим сделать замену [math]x=\phi(t)[/math]. При этом функция [math]\phi(t)[/math] однозначна и непрерывна на интервале [math](\phi^{-1}(a),\phi^{-1}(c))[/math] и [math](\phi^{-1}(c),\phi^{-1}(b))[/math] (но на этих интервалах чем то отличается, ну скажем знаком или еще чем нибудь), тогда мы получаем:

[math]\int_{\phi^{-1}(a)}^{\phi^{-1}(c)}f(\phi(t))\phi'(t)dt+\int_{\phi^{-1}(c)}^{\phi^{-1}(b)}f(\phi(t))\phi'(t)dt[/math]

т. е. разбиваем на несколько интервалов где функция однозначна и непрерывна. В чем я не прав?


lexus666, здесь Вы правы.

Страница 5 из 6 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/