Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти интеграл
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=4713
Страница 4 из 6

Автор:  mad_math [ 29 мар 2011, 21:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

nikita0008 писал(а):
[math]\int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 2 } {\frac{{xdx}}{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}} = \left[ \begin{gathered}3x = t \hfill \\ dx = \frac{{dt}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right] = \int\limits_4^5 {\frac{{x\frac{{dt}}{3}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} = \frac{1}{3}\int\limits_4^5 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}}[/math]

[math]t=3x^2+1,dt=6xdx\Rightarrow xdx=\frac{dt}{6}[/math]

Автор:  erjoma [ 29 мар 2011, 22:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

Избавится от точки разрыва функции на отрезке интегрирования можно следующим образом:
[math]\int\limits_0^2 {\frac{x}
{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}dx} = \left( \begin{gathered}
t = {x^2} - 1 \hfill \\ dt = 2xdx \hfill \\
\end{gathered} \right) = \frac{1}
{2}\int\limits_{ - 1}^3 {\frac{{dt}}
{{{t^3}}}} = \frac{1}
{2}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}}
{{{t^3}}}} + \frac{1}
{2}\int\limits_1^3 {\frac{{dt}}
{{{t^3}}}}[/math]

[math]\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}}{{{t^3}}}} = 0[/math] , т.к. подынтегральная функция нечетная, а концы отрезка интегрирования симметричны.

Автор:  mad_math [ 29 мар 2011, 22:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся.

Автор:  mad_math [ 29 мар 2011, 22:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma писал(а):
Я считаю, что в интеграле [math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)xdx}[/math] нельзя сразу использовать постановку [math]x^2-1=t[/math], т.к. данная подстановка не является взаимно-однозначной (при [math]x=a>0[/math] и [math]x=-a[/math] [math]t[/math] принимает одно и тоже значение)

и что это меняет?

Автор:  erjoma [ 29 мар 2011, 22:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

mad_math писал(а):
erjoma писал(а):
Я считаю, что в интеграле [math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)xdx}[/math] нельзя сразу использовать постановку [math]x^2-1=t[/math], т.к. данная подстановка не является взаимно-однозначной (при [math]x=a>0[/math] и [math]x=-a[/math] [math]t[/math] принимает одно и тоже значение)

и что это меняет?


Не спорю в данном интеграле ответ получается правильным. Но стоит пользоваться только взаимно однозначными подстановками, иначе можно получить неверный ответ.

Автор:  lexus666 [ 29 мар 2011, 23:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma писал(а):

Не спорю в данном интеграле ответ получается правильным. Но стоит пользоваться только взаимно однозначными подстановками, иначе можно получить неверный ответ.


Пример не приведете?

Автор:  erjoma [ 29 мар 2011, 23:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

mad_math писал(а):
erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся.


у меня Maple считает так же,но в своих выкладках я не вижу ошибки.

Автор:  lexus666 [ 29 мар 2011, 23:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

mad_math писал(а):
erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся.


На мой взгляд рассуждения erjoma верны. mad_math Вы не поделитесь своими рассуждениями?

Автор:  erjoma [ 29 мар 2011, 23:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

[math]\begin{gathered}
\int\limits_0^\pi {dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}
{{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}}
{{{{\cos }^2}\left( x \right)\left( {1 + t{g^2}\left( x \right)} \right)}}} = \left( \begin{gathered}
t = tg\left( x \right) \hfill \\ dt = \frac{{dx}}
{{{{\cos }^2}\left( x \right)}} \hfill \\
\end{gathered} \right) = \hfill \\ = \int\limits_0^0 {\frac{{dt}}
{{1 + {t^2}}}} = 0 \hfill \\
\end{gathered}[/math]

Автор:  lexus666 [ 29 мар 2011, 23:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти интеграл

erjoma пример который Вы привели относится к "следите внимательно за пределами", но не говорит о том "какую замену делаете". Или я не прав?

Страница 4 из 6 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/