| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти интеграл http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=4713 |
Страница 4 из 6 |
| Автор: | mad_math [ 29 мар 2011, 21:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
nikita0008 писал(а): [math]\int\limits_{\sqrt 5 }^{2\sqrt 2 } {\frac{{xdx}}{{\sqrt {3{x^2} + 1} }}} = \left[ \begin{gathered}3x = t \hfill \\ dx = \frac{{dt}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right] = \int\limits_4^5 {\frac{{x\frac{{dt}}{3}}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}} = \frac{1}{3}\int\limits_4^5 {\frac{{xdx}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }}}[/math] [math]t=3x^2+1,dt=6xdx\Rightarrow xdx=\frac{dt}{6}[/math] |
|
| Автор: | erjoma [ 29 мар 2011, 22:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
Избавится от точки разрыва функции на отрезке интегрирования можно следующим образом: [math]\int\limits_0^2 {\frac{x} {{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^3}}}dx} = \left( \begin{gathered} t = {x^2} - 1 \hfill \\ dt = 2xdx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \frac{1} {2}\int\limits_{ - 1}^3 {\frac{{dt}} {{{t^3}}}} = \frac{1} {2}\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}} {{{t^3}}}} + \frac{1} {2}\int\limits_1^3 {\frac{{dt}} {{{t^3}}}}[/math] [math]\int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{dt}}{{{t^3}}}} = 0[/math] , т.к. подынтегральная функция нечетная, а концы отрезка интегрирования симметричны. |
|
| Автор: | mad_math [ 29 мар 2011, 22:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся. |
|
| Автор: | mad_math [ 29 мар 2011, 22:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
erjoma писал(а): Я считаю, что в интеграле [math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)xdx}[/math] нельзя сразу использовать постановку [math]x^2-1=t[/math], т.к. данная подстановка не является взаимно-однозначной (при [math]x=a>0[/math] и [math]x=-a[/math] [math]t[/math] принимает одно и тоже значение) и что это меняет? |
|
| Автор: | erjoma [ 29 мар 2011, 22:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
mad_math писал(а): erjoma писал(а): Я считаю, что в интеграле [math]\int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 1} \right)xdx}[/math] нельзя сразу использовать постановку [math]x^2-1=t[/math], т.к. данная подстановка не является взаимно-однозначной (при [math]x=a>0[/math] и [math]x=-a[/math] [math]t[/math] принимает одно и тоже значение) и что это меняет? Не спорю в данном интеграле ответ получается правильным. Но стоит пользоваться только взаимно однозначными подстановками, иначе можно получить неверный ответ. |
|
| Автор: | lexus666 [ 29 мар 2011, 23:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
erjoma писал(а): Не спорю в данном интеграле ответ получается правильным. Но стоит пользоваться только взаимно однозначными подстановками, иначе можно получить неверный ответ. Пример не приведете? |
|
| Автор: | erjoma [ 29 мар 2011, 23:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
mad_math писал(а): erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся. у меня Maple считает так же,но в своих выкладках я не вижу ошибки. |
|
| Автор: | lexus666 [ 29 мар 2011, 23:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
mad_math писал(а): erjoma, у меня этот интеграл получился расходящимся. На мой взгляд рассуждения erjoma верны. mad_math Вы не поделитесь своими рассуждениями? |
|
| Автор: | erjoma [ 29 мар 2011, 23:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
[math]\begin{gathered} \int\limits_0^\pi {dx} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}} {{{{\cos }^2}\left( x \right) + {{\sin }^2}\left( x \right)}}} = \int\limits_0^\pi {\frac{{dx}} {{{{\cos }^2}\left( x \right)\left( {1 + t{g^2}\left( x \right)} \right)}}} = \left( \begin{gathered} t = tg\left( x \right) \hfill \\ dt = \frac{{dx}} {{{{\cos }^2}\left( x \right)}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = \hfill \\ = \int\limits_0^0 {\frac{{dt}} {{1 + {t^2}}}} = 0 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | lexus666 [ 29 мар 2011, 23:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти интеграл |
erjoma пример который Вы привели относится к "следите внимательно за пределами", но не говорит о том "какую замену делаете". Или я не прав? |
|
| Страница 4 из 6 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|