Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Aclz |
|
|
[math]F=\int_{V} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \, dx dy dz[/math] Сам интеграл простой, но в толк не возьму, как взять его по объему тетраэдра V (с вершинами в трех произвольных точках пространства [math](x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b),(x_c,y_c,z_c)[/math] и четвертой вершиной в начале координат). |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Аффинным преобразованием переведите тетраэдр в другой - с вершинами в точках [math](0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)[/math].
Ой, опять картинка - пока исправляют смотрите через цитирование. |
||
Вернуться к началу | ||
Aclz |
|
|
dr Watson писал(а): Аффинным преобразованием переведите тетраэдр в другой - с вершинами в точках [math](0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)[/math]. Ой, опять картинка - пока исправляют смотрите через цитирование. Проблема в том, что интеграл в стандартных функциях не берется даже для такого ортонормированного тетраэдра |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
А что Вы думаете, неберущееся может, как в сказке, чудесным образом взяться?
Знаете что - а засуньте его в ... какой-нибудь матпакет. Только область всё-так приведите и не забудьте про якобиан. |
||
Вернуться к началу | ||
Aclz |
|
|
dr Watson писал(а): А что Вы думаете, неберущееся может, как в сказке, чудесным образом взяться? Знаете что - а засуньте его в ... какой-нибудь матпакет. Только область всё-так приведите и не забудьте про якобиан. Матпакеты выдают число без расчетов. Как они его получают - мне неведомо. В общем виде (если область задать переменными) решение не выдается. Пробовал апроксимировать функцию рядом в целях дальнейшего интегрирования - тоже ничего путнего не выходит. И да, в топку тетраэдр (и область с якобианом туда же). Интеграл не берется даже для параллелепипеда! |
||
Вернуться к началу | ||
dr Watson |
|
|
Чего Вы добиваетесь? В общем случае интеграл может быть и расходящимся - если начало координат лежит внутри тетраэдра. От такого варианта не избавиться никакими ухищрениями и общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно.
После аффинного преобразования получится [math]\iiint\limits_V\frac{dxdydz}{F(x,y,z)}[/math], где [math]F[/math] - квадрика от 3-х переменных - короткое одеяло переползло с области интегрирования на подынтегральную функцию. Фтопку не якобиан, а Ваши заведомо бесплодные попытки. |
||
Вернуться к началу | ||
Aclz |
|
|
dr Watson писал(а): Чего Вы добиваетесь? В общем случае интеграл может быть и расходящимся - если начало координат лежит внутри тетраэдра. От такого варианта не избавиться никакими ухищрениями и общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно. Начало координат не может лежать внутри тетраэдра, т.к. является одной из его вершин по условию задачи, и для единичного тетраэдра тоже. В начале координат интеграл всё равно не расходится, т.к. стремится к нулю при сжатии области к нулевой точке. dr Watson писал(а): общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно. Меня бы устроила формула даже для единичного тетраэдра, для которого числовой результат известен (~1,05). |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 7 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Интеграл по объёму от обратной длины
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
266 |
25 ноя 2014, 10:03 |
|
Расчет суммы обратно пропорционально объему
в форуме Алгебра |
4 |
296 |
22 мар 2018, 12:46 |
|
Биссектрисы тетраэдра
в форуме Геометрия |
8 |
293 |
01 май 2022, 11:38 |
|
Высоты тетраэдра
в форуме Геометрия |
3 |
434 |
04 ноя 2017, 13:37 |
|
Высота тетраэдра | 8 |
490 |
09 ноя 2018, 15:10 |
|
Сечение тетраэдра
в форуме Геометрия |
6 |
272 |
25 апр 2023, 21:39 |
|
Существование тетраэдра
в форуме Геометрия |
1 |
392 |
26 мар 2017, 15:21 |
|
Сечение усеченного тетраэдра
в форуме Геометрия |
4 |
182 |
14 июн 2023, 20:22 |
|
Центр масс тетраэдра | 5 |
774 |
09 ноя 2015, 13:40 |
|
Раскраска вершин тетраэдра
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
17 |
1095 |
11 ноя 2019, 01:25 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |