Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 10 дек 2015, 19:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 дек 2015, 19:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для расчета и визуализации гравитационных полей (и других полей, обратно пропорциональных квадрату расстояния), объектов, заданных множеством граней (треугольников), необходимо уметь брать следующий интеграл:

[math]F=\int_{V} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} \, dx dy dz[/math]

Сам интеграл простой, но в толк не возьму, как взять его по объему тетраэдра V (с вершинами в трех произвольных точках пространства [math](x_a,y_a,z_a),(x_b,y_b,z_b),(x_c,y_c,z_c)[/math] и четвертой вершиной в начале координат).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 12 дек 2015, 07:14 
В сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Аффинным преобразованием переведите тетраэдр в другой - с вершинами в точках [math](0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)[/math].
Ой, опять картинка - пока исправляют смотрите через цитирование.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 12 дек 2015, 19:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 дек 2015, 19:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Аффинным преобразованием переведите тетраэдр в другой - с вершинами в точках [math](0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)[/math].
Ой, опять картинка - пока исправляют смотрите через цитирование.

Проблема в том, что интеграл в стандартных функциях не берется даже для такого ортонормированного тетраэдра :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 13 дек 2015, 17:58 
В сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А что Вы думаете, неберущееся может, как в сказке, чудесным образом взяться?
Знаете что - а засуньте его в ...
какой-нибудь матпакет.
Только область всё-так приведите и не забудьте про якобиан.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 14 дек 2015, 17:09 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 дек 2015, 19:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
А что Вы думаете, неберущееся может, как в сказке, чудесным образом взяться?
Знаете что - а засуньте его в ...
какой-нибудь матпакет.
Только область всё-так приведите и не забудьте про якобиан.

Матпакеты выдают число без расчетов. Как они его получают - мне неведомо. В общем виде (если область задать переменными) решение не выдается.
Пробовал апроксимировать функцию рядом в целях дальнейшего интегрирования - тоже ничего путнего не выходит.

И да, в топку тетраэдр (и область с якобианом туда же). Интеграл не берется даже для параллелепипеда!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 16 дек 2015, 05:50 
В сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 окт 2010, 11:15
Сообщений: 2720
Cпасибо сказано: 112
Спасибо получено:
837 раз в 670 сообщениях
Очков репутации: 198

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Чего Вы добиваетесь? В общем случае интеграл может быть и расходящимся - если начало координат лежит внутри тетраэдра. От такого варианта не избавиться никакими ухищрениями и общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно.
После аффинного преобразования получится
[math]\iiint\limits_V\frac{dxdydz}{F(x,y,z)}[/math],
где [math]F[/math] - квадрика от 3-х переменных - короткое одеяло переползло с области интегрирования на подынтегральную функцию.
Фтопку не якобиан, а Ваши заведомо бесплодные попытки.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Интеграл по объему тетраэдра
СообщениеДобавлено: 16 дек 2015, 14:50 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 дек 2015, 19:17
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dr Watson писал(а):
Чего Вы добиваетесь? В общем случае интеграл может быть и расходящимся - если начало координат лежит внутри тетраэдра. От такого варианта не избавиться никакими ухищрениями и общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно.

Начало координат не может лежать внутри тетраэдра, т.к. является одной из его вершин по условию задачи, и для единичного тетраэдра тоже. В начале координат интеграл всё равно не расходится, т.к. стремится к нулю при сжатии области к нулевой точке.

dr Watson писал(а):
общую формулу для произвольного тетраэдра получить невозможно.

Меня бы устроила формула даже для единичного тетраэдра, для которого числовой результат известен (~1,05).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Интеграл по объёму от обратной длины

в форуме Интегральное исчисление

sailor19

0

266

25 ноя 2014, 10:03

Расчет суммы обратно пропорционально объему

в форуме Алгебра

Tolyan

4

296

22 мар 2018, 12:46

Биссектрисы тетраэдра

в форуме Геометрия

levon

8

293

01 май 2022, 11:38

Высоты тетраэдра

в форуме Геометрия

MYNAME

3

434

04 ноя 2017, 13:37

Высота тетраэдра

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

____kxkxkx____

8

490

09 ноя 2018, 15:10

Сечение тетраэдра

в форуме Геометрия

lvbealr

6

272

25 апр 2023, 21:39

Существование тетраэдра

в форуме Геометрия

marina5013

1

392

26 мар 2017, 15:21

Сечение усеченного тетраэдра

в форуме Геометрия

nezakomez

4

182

14 июн 2023, 20:22

Центр масс тетраэдра

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

onetwo

5

774

09 ноя 2015, 13:40

Раскраска вершин тетраэдра

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

DanyaRRRR

17

1095

11 ноя 2019, 01:25


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved