Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 9 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Zhenek |
|
|
Вот возник вопрос, наткнулся на одну задачу интересную и вот не могу понять как обосновать. Нужно сравнить 2 интеграла между собой: [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(sin(x))dx[/math] и [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(sin(x))dx[/math]. Для начала я попытался попробовать интерпретировать этот интеграл как площадь под кривой, собственно, и пытался каким-либо образом ограничить, скажем, в левом интеграле функцию внутри синуса, типа косинус убывает на промежутке [math][0;\frac{\pi}{2}][/math], а значит, если я подставлю наибольшее значение внутрь косинуса - единицу, то тогда график будет как бы ниже лежать, а значит и интеграл будет меньше, т.е левый интеграл больше чем интеграл от [math]cos(1)[/math]. Но в правой части по аналогии, учитывая возрастание синуса на этом промежутке, интеграл можно ограничить сверху интегралом от [math]sin(1)[/math], но в итоге ничего не получается, ибо [math]sin(1) > cos(1)[/math]. Подскажите или теорию, или более адекватный подход для решения такого типа задач. Спасибо. |
||
Вернуться к началу | ||
Avgust |
|
|
Думаю, лучше разложить в ряд Тейлора. Вот сравнение двух представлений.
http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot ... 29&x=0&y=0 Почти совпадают. Интегрировать полином уже совсем просто. А вообще-то график наглядно показывает, какая площадь больше или меньше: http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot ... 29&x=0&y=0 |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
На самом деле, тут всё проще. Надо использовать то, что на данном промежутке косинус - убывающая, а синус - возрастающая. Ну и известное неравенство [math]\sin x < x[/math]
[math]\cos(\sin x) > \cos x[/math] [math]\sin(\sin x) < \sin x[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Zhenek |
||
Zhenek |
|
|
А как обосновать, что интегралы тоже будут с такими же знаками?? Может я ещё не проснулся, но очевидным мне это кажется только для примитивных примеров.
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Zhenek, я не понял вашего вопроса. Попытайтесь его формализовать.
|
||
Вернуться к началу | ||
Zhenek |
|
|
Как доказать, что если на промежутке [math][0;\frac {\pi}{2}][/math] выполняется [math]cos(sin(x)) > cos(x)[/math], то и [math]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(sin(x))dx > \int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(x)dx[/math]
Я так понимаю, что можно здесь рассуждать, что левая функция всегда выше правой, а значит и площадь под кривой будет больше? |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
Ну-у, это же известное свойство интегралов. Вам-то уж, раз беретесь исследовать ряды на равномерную сходимость, это должно быть известно.
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Площадь лучше не произносить - это всего лишь "физическая интерпретация". Бывают такие функции, что и о графике речи быть не может, не говоря уже и о площади.
Может быть, если вы сомневаетесь в возможности интегрирования неравенства [math]f(x)>g(x)[/math] то вы посмотрите на неравенство [math]f(x)-g(x)>0[/math]? Интеграл от неотрицательной функции может меньше нуля быть? |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали: Zhenek |
||
Zhenek |
|
|
Вы правы, неравенство верно для всех [math]x[/math] из промежутка, а интеграл отрицательным быть не может, если функция неотрицательная, значит и знак будет соответствующий. Думаю, всё понятно тогда. Спасибо.
Human писал(а): Ну-у, это же известное свойство интегралов. Вам-то уж, раз беретесь исследовать ряды на равномерную сходимость, это должно быть известно. Да, по-идее должно быть известно, но почему-то задание смутило. По-видимому, не очень хорошо известно. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 9 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Сравнение
в форуме Теория чисел |
3 |
781 |
03 май 2014, 19:30 |
|
Сравнение
в форуме Теория чисел |
3 |
608 |
17 мар 2015, 23:22 |
|
Сравнение
в форуме Теория чисел |
13 |
869 |
28 авг 2014, 08:43 |
|
Сравнение
в форуме Теория чисел |
6 |
394 |
03 апр 2020, 22:27 |
|
Сравнение по mod 7
в форуме Теория чисел |
6 |
1003 |
23 фев 2018, 13:10 |
|
Сравнение функций
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
6 |
253 |
10 окт 2014, 09:10 |
|
Сравнение функций
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
0 |
206 |
08 окт 2014, 23:18 |
|
Как решить сравнение 40x = 23 (mod 613)?
в форуме Теория чисел |
3 |
950 |
05 май 2014, 09:15 |
|
Сравнение по модулю
в форуме Алгебра |
2 |
437 |
09 дек 2017, 11:25 |
|
Решить сравнение
в форуме Теория чисел |
2 |
472 |
09 янв 2015, 21:00 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |