Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 12:41 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте!
Вот возник вопрос, наткнулся на одну задачу интересную и вот не могу понять как обосновать. Нужно сравнить 2 интеграла между собой:
[math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} cos(sin(x))dx[/math] и [math]\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} sin(sin(x))dx[/math].
Для начала я попытался попробовать интерпретировать этот интеграл как площадь под кривой, собственно, и пытался каким-либо образом ограничить, скажем, в левом интеграле функцию внутри синуса, типа косинус убывает на промежутке [math][0;\frac{\pi}{2}][/math], а значит, если я подставлю наибольшее значение внутрь косинуса - единицу, то тогда график будет как бы ниже лежать, а значит и интеграл будет меньше, т.е левый интеграл больше чем интеграл от [math]cos(1)[/math]. Но в правой части по аналогии, учитывая возрастание синуса на этом промежутке, интеграл можно ограничить сверху интегралом от [math]sin(1)[/math], но в итоге ничего не получается, ибо [math]sin(1) > cos(1)[/math].
Подскажите или теорию, или более адекватный подход для решения такого типа задач. Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 13:46 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Думаю, лучше разложить в ряд Тейлора. Вот сравнение двух представлений.


http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot ... 29&x=0&y=0

Почти совпадают. Интегрировать полином уже совсем просто.


А вообще-то график наглядно показывает, какая площадь больше или меньше:

http://m.wolframalpha.com/input/?i=plot ... 29&x=0&y=0

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:09 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле, тут всё проще. Надо использовать то, что на данном промежутке косинус - убывающая, а синус - возрастающая. Ну и известное неравенство [math]\sin x < x[/math]

[math]\cos(\sin x) > \cos x[/math]

[math]\sin(\sin x) < \sin x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Zhenek
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:22 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А как обосновать, что интегралы тоже будут с такими же знаками?? Может я ещё не проснулся, но очевидным мне это кажется только для примитивных примеров.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Zhenek, я не понял вашего вопроса. Попытайтесь его формализовать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:29 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как доказать, что если на промежутке [math][0;\frac {\pi}{2}][/math] выполняется [math]cos(sin(x)) > cos(x)[/math], то и [math]\int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(sin(x))dx > \int\limits_{0}^{\frac {\pi}{2}} cos(x)dx[/math]
Я так понимаю, что можно здесь рассуждать, что левая функция всегда выше правой, а значит и площадь под кривой будет больше?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну-у, это же известное свойство интегралов. Вам-то уж, раз беретесь исследовать ряды на равномерную сходимость, это должно быть известно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:52 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Площадь лучше не произносить - это всего лишь "физическая интерпретация". Бывают такие функции, что и о графике речи быть не может, не говоря уже и о площади.
Может быть, если вы сомневаетесь в возможности интегрирования неравенства
[math]f(x)>g(x)[/math]
то вы посмотрите на неравенство [math]f(x)-g(x)>0[/math]?

Интеграл от неотрицательной функции может меньше нуля быть?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю swan "Спасибо" сказали:
Zhenek
 Заголовок сообщения: Re: Сравнение интегралов
СообщениеДобавлено: 02 ноя 2015, 14:59 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
30 окт 2015, 15:03
Сообщений: 510
Cпасибо сказано: 11
Спасибо получено:
98 раз в 96 сообщениях
Очков репутации: 14

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вы правы, неравенство верно для всех [math]x[/math] из промежутка, а интеграл отрицательным быть не может, если функция неотрицательная, значит и знак будет соответствующий. Думаю, всё понятно тогда. Спасибо.

Human писал(а):
Ну-у, это же известное свойство интегралов. Вам-то уж, раз беретесь исследовать ряды на равномерную сходимость, это должно быть известно.

Да, по-идее должно быть известно, но почему-то задание смутило. По-видимому, не очень хорошо известно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сравнение

в форуме Теория чисел

briz

3

781

03 май 2014, 19:30

Сравнение

в форуме Теория чисел

lelius

3

608

17 мар 2015, 23:22

Сравнение

в форуме Теория чисел

briz

13

869

28 авг 2014, 08:43

Сравнение

в форуме Теория чисел

topu

6

394

03 апр 2020, 22:27

Сравнение по mod 7

в форуме Теория чисел

DanyaRRRR

6

1003

23 фев 2018, 13:10

Сравнение функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

roket177

6

253

10 окт 2014, 09:10

Сравнение функций

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Damir

0

206

08 окт 2014, 23:18

Как решить сравнение 40x = 23 (mod 613)?

в форуме Теория чисел

bambambigelow

3

950

05 май 2014, 09:15

Сравнение по модулю

в форуме Алгебра

max2000

2

437

09 дек 2017, 11:25

Решить сравнение

в форуме Теория чисел

kerim

2

472

09 янв 2015, 21:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 36


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved