Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 11:41 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 ноя 2010, 22:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001 путём разложения подынтегральной функции в ряд и почленного интегрирования этого ряда.

[math]\int\limits_{0}^{0,2}\cos{x^2}\,dx[/math]

Начало решения:

[math]\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots[/math]

[math]\cos{x^2}=1-\frac{x^4}{2!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{16}}{8!}-\cdots[/math]

т.к промежуток [0; 0,2] принадлежит области сходимости, то интегрируем:

[math]\int\limits_{0}^{0,2}\cos{x^2}\,dx=\int\limits_{0}^{0,2}\left(1-\frac{x^4}{2}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{12}}{720}+\frac{x^{16}}{720\cdot56}-\cdots\right)\!dx=[/math]

[math]=1\int\limits_{0}^{0,2}dx-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{0,2}x^4\,dx+\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{0,2}x^8\,dx-\frac{1}{720}\int\limits_{0}^{0,2}x^{12}\,dx+\frac{1}{720\cdot56}\int\limits_{0}^{0,2}x^{16}\,dx-\cdots=[/math]

[math]=1x\Bigl|_{0}^{0,2}-\frac{1}{2}\frac{x^5}{5}\Bigl|_{0}^{0,2}+\frac{1}{24}\frac{x^9}{9}\Bigl|_{0}^{0,2}-\frac{1}{720}\frac{x^{13}}{13}\Bigl|_{0}^{0,2}+\frac{1}{720\cdot56}\frac{x^{17}}{17}\Bigl|_{0}^{0,2}=[/math]

А дальше у меня, что-то не выходит, какие-то слишком большие числа получаются, пожалуйста, помогите)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 12:59 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Отбросьте все члены которые по модулю, меньше 0,001.
Р.S.
[math]\begin{array}{l}
{\left( {\cos \left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime } = - 2x\sin \left( {{x^2}} \right) \\
\cos \left( {{x^2}} \right) = 1 - \frac{x}{2}\left( {2\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right)} \right) = 1 - x\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right),0 < \xi < 0,2 \\
\int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} = 0,2 - 0,5{\left( {0,2} \right)^2}\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right) \\
0,5{\left( {0,2} \right)^2}\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right) < 0,5{\left( {0,2} \right)^3} < 0,001 \\
\end{array}[/math]


Поэтому
[math]\int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \approx 0,2[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Candice
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 13:31 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 ноя 2010, 22:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 13:45 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста.
Мои рассуждения в примечании не совсем точны, так как [math]\xi[/math] зависит от x.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 13:46 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19961
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11721
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
а вы воспользуйтесь, например, таблицами Excel для вычисления.
у вас уже второй член ряда равен 0,000032, что соответствует заданной точности и интеграл получается равным 1,99968

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 17:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
а вы воспользуйтесь, например, таблицами Excel для вычисления.
у вас уже второй член ряда равен 0,000032, что соответствует заданной точности и интеграл получается равным 1,99968


Для сходящегося ряда [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}}[/math] не всегда верно:
если [math]\forall n \ge k[/math] выполняется [math]|a_n| < \varepsilon[/math], то [math]\sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} < \varepsilon[/math]

Например для рядов, у которых [math]q^{i+1}\varepsilon<a_{k+i}<\varepsilon[/math] [math](\frac{1}{2}<q<1, i=0,1,2,3,4,...)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 19:04 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{array}{l}
\cos \left( {{x^2}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{x^{4i}}}}{{\left( {2i} \right)!}}} \\
\int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} = S \\
\left| {S - \sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} } \right| = \left| {\sum\limits_{i = k}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} } \right| < \sum\limits_{i = k}^\infty {{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}} = \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^{4k + 1}}}}{{1 - {{\left( {0,2} \right)}^4}}} < 0,3 \cdot {\left( {0,2} \right)^{4k}} < 0,001 \\
4k\lg \left( {0,2} \right) + \lg \left( {0,3} \right) < - 3 \\
k > - \frac{{3 + \lg \left( {0,3} \right)}}{{4\lg \left( {0,2} \right)}} \approx 0,9 \\
\int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \approx 0,2 \\
\end{array}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 19:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma, перед Вами знакочередующийся ряд с убывающими по модулю слагаемыми. Сумма такого ряда не превосходит модуля первого слагаемого.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 20:20 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
erjoma, перед Вами знакочередующийся ряд с убывающими по модулю слагаемыми. Сумма такого ряда не превосходит модуля первого слагаемого.


Бывает у меня тяга к усложнению задачи, если я давно не решал подобные задачи Забываю простые ходы в решении и начинаю изобретать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001
СообщениеДобавлено: 16 мар 2011, 10:37 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 ноя 2010, 22:04
Сообщений: 41
Cпасибо сказано: 19
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Всем огромное спасибо :thanks:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить определенный интеграл с точностью

в форуме Ряды

Metal0_1

2

775

29 дек 2018, 20:50

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001

в форуме Ряды

Jackoe89

4

384

09 янв 2021, 11:35

Вычислить определенный интеграл с точностью 0,001

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

351w

2

1085

11 дек 2018, 20:08

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

в форуме Интегральное исчисление

Pulya

3

4962

10 апр 2014, 11:45

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001

в форуме Ряды

Merrygirltati

5

912

24 дек 2017, 19:18

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0.001

в форуме Интегральное исчисление

baton

10

518

14 янв 2021, 18:20

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

в форуме Интегральное исчисление

denis1999

1

664

09 ноя 2018, 09:38

Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001

в форуме Ряды

Kiryanovth

3

1053

14 июн 2017, 19:43

Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

в форуме Интегральное исчисление

tittotop

1

1200

21 май 2015, 19:44

Вычислить с заданной точностью определённый интеграл

в форуме Ряды

LeoDaVinji

5

201

13 дек 2019, 20:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 31


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved