Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 11 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
Candice |
|
|
[math]\int\limits_{0}^{0,2}\cos{x^2}\,dx[/math] Начало решения: [math]\cos{x}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\cdots[/math] [math]\cos{x^2}=1-\frac{x^4}{2!}+\frac{x^8}{4!}-\frac{x^{12}}{6!}+\frac{x^{16}}{8!}-\cdots[/math] т.к промежуток [0; 0,2] принадлежит области сходимости, то интегрируем: [math]\int\limits_{0}^{0,2}\cos{x^2}\,dx=\int\limits_{0}^{0,2}\left(1-\frac{x^4}{2}+\frac{x^8}{24}-\frac{x^{12}}{720}+\frac{x^{16}}{720\cdot56}-\cdots\right)\!dx=[/math] [math]=1\int\limits_{0}^{0,2}dx-\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{0,2}x^4\,dx+\frac{1}{24}\int\limits_{0}^{0,2}x^8\,dx-\frac{1}{720}\int\limits_{0}^{0,2}x^{12}\,dx+\frac{1}{720\cdot56}\int\limits_{0}^{0,2}x^{16}\,dx-\cdots=[/math] [math]=1x\Bigl|_{0}^{0,2}-\frac{1}{2}\frac{x^5}{5}\Bigl|_{0}^{0,2}+\frac{1}{24}\frac{x^9}{9}\Bigl|_{0}^{0,2}-\frac{1}{720}\frac{x^{13}}{13}\Bigl|_{0}^{0,2}+\frac{1}{720\cdot56}\frac{x^{17}}{17}\Bigl|_{0}^{0,2}=[/math] А дальше у меня, что-то не выходит, какие-то слишком большие числа получаются, пожалуйста, помогите) |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Отбросьте все члены которые по модулю, меньше 0,001.
Р.S. [math]\begin{array}{l} {\left( {\cos \left( {{x^2}} \right)} \right)^\prime } = - 2x\sin \left( {{x^2}} \right) \\ \cos \left( {{x^2}} \right) = 1 - \frac{x}{2}\left( {2\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right)} \right) = 1 - x\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right),0 < \xi < 0,2 \\ \int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} = 0,2 - 0,5{\left( {0,2} \right)^2}\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right) \\ 0,5{\left( {0,2} \right)^2}\xi \sin \left( {{\xi ^2}} \right) < 0,5{\left( {0,2} \right)^3} < 0,001 \\ \end{array}[/math] Поэтому [math]\int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \approx 0,2[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Candice |
||
Candice |
|
|
Спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Пожалуйста.
Мои рассуждения в примечании не совсем точны, так как [math]\xi[/math] зависит от x. |
||
Вернуться к началу | ||
mad_math |
|
|
а вы воспользуйтесь, например, таблицами Excel для вычисления.
у вас уже второй член ряда равен 0,000032, что соответствует заданной точности и интеграл получается равным 1,99968 |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
mad_math писал(а): а вы воспользуйтесь, например, таблицами Excel для вычисления. у вас уже второй член ряда равен 0,000032, что соответствует заданной точности и интеграл получается равным 1,99968 Для сходящегося ряда [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}}[/math] не всегда верно: если [math]\forall n \ge k[/math] выполняется [math]|a_n| < \varepsilon[/math], то [math]\sum\limits_{n = k}^\infty {{a_n}} < \varepsilon[/math] Например для рядов, у которых [math]q^{i+1}\varepsilon<a_{k+i}<\varepsilon[/math] [math](\frac{1}{2}<q<1, i=0,1,2,3,4,...)[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
[math]\begin{array}{l}
\cos \left( {{x^2}} \right) = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{x^{4i}}}}{{\left( {2i} \right)!}}} \\ \int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} = \sum\limits_{i = 0}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} = S \\ \left| {S - \sum\limits_{i = 0}^k {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} } \right| = \left| {\sum\limits_{i = k}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^i}{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}}}{{\left( {4i + 1} \right)\left( {2i} \right)!}}} } \right| < \sum\limits_{i = k}^\infty {{{\left( {0,2} \right)}^{4i + 1}}} = \frac{{{{\left( {0,2} \right)}^{4k + 1}}}}{{1 - {{\left( {0,2} \right)}^4}}} < 0,3 \cdot {\left( {0,2} \right)^{4k}} < 0,001 \\ 4k\lg \left( {0,2} \right) + \lg \left( {0,3} \right) < - 3 \\ k > - \frac{{3 + \lg \left( {0,3} \right)}}{{4\lg \left( {0,2} \right)}} \approx 0,9 \\ \int\limits_0^{0,2} {\cos \left( {{x^2}} \right)dx} \approx 0,2 \\ \end{array}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
erjoma, перед Вами знакочередующийся ряд с убывающими по модулю слагаемыми. Сумма такого ряда не превосходит модуля первого слагаемого.
|
||
Вернуться к началу | ||
erjoma |
|
|
Prokop писал(а): erjoma, перед Вами знакочередующийся ряд с убывающими по модулю слагаемыми. Сумма такого ряда не превосходит модуля первого слагаемого. Бывает у меня тяга к усложнению задачи, если я давно не решал подобные задачи Забываю простые ходы в решении и начинаю изобретать. |
||
Вернуться к началу | ||
Candice |
|
|
Всем огромное спасибо
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 11 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 31 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |