Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| DmitriyEf |
|
|
|
[math]\int_1^2 \frac{\sqrt{x-1}}{ln(x)} dx[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| lemmanime |
|
|
|
А не доказать сходимость нужно?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| DmitriyEf |
|
|
|
Да. Сходимость. Но когда я доказываю непосредственно сходимость, то получается, что он расходится. А по ответу он сходится. wolframalpha показывает, что предел у интеграла существует. Ну и я решил, что надо в лоб его высчитать каким-то способом
|
||
| Вернуться к началу | ||
| michel |
|
|
|
Выполним замену переменной [math]x \to x+1[/math]. Тогда исходный интеграл будет равен [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{ ln(x+1) }[/math]. Рассмотрим функцию [math]f(x)=\frac{ ln(x+1) }{ x }[/math] на промежутке [0;1]: она монотонно убывает от 1 до [math]minf=\frac{ ln3 }{ 2 } \approx 0,55[/math]. Теперь исходный интеграл можно оценить сверху: [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{xf(x) }<\int\limits_{0}^{1}\frac{ \sqrt{x} dx }{ x\cdot minf }=\frac{ 2 }{ ln3 } \int\limits_{0}^{1}\frac{ dx }{ \sqrt{x} }=\frac{ 4 }{ ln3 }[/math]. Значит, исходный интеграл сходится и будет меньше [math]\frac{ 4 }{ ln3 }[/math]. Численный расчет для исходного интеграла дает величину 2,308.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: DmitriyEf |
||
| DmitriyEf |
|
|
|
Спасибо большое, что откликнулись. Но не могли бы вы пояснить одну вещь: как минимум функции [math]f(x)[/math] получается равен [math]\frac{ln(3)}{2}[/math]. Получается [math]x=2[/math], а рассматриваем на промежутке [0;1], куда 2 не входит.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| lemmanime |
|
|
|
Была сделана замена
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю lemmanime "Спасибо" сказали: DmitriyEf |
||
| michel |
|
|
|
Да, Вы правильно заметили (забыл, что перешел к новому промежутку [0;1]), правильно [math]minf=ln2[/math], тогда оценку интеграла сверху подправляем [math]\frac{ 2 }{ ln2 } \approx 2.885[/math]. Она будет теперь гораздо ближе к точному значению интеграла!
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: DmitriyEf |
||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Вычислить определенный и не определенный интеграл | 1 |
443 |
05 май 2015, 16:57 |
|
|
Определенный интеграл и несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
1024 |
14 апр 2015, 20:58 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
265 |
28 дек 2018, 15:20 |
|
|
Определённый интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
419 |
04 май 2015, 19:26 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
410 |
29 апр 2016, 12:05 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
239 |
27 дек 2018, 21:29 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
305 |
10 янв 2016, 13:49 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
305 |
20 мар 2019, 18:26 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
347 |
18 янв 2016, 14:31 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
212 |
24 мар 2016, 22:05 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |