Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 20:34 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2013, 19:13
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте! Имеется задача по вычислению площади фигуры, заданной в параметрической форме, пределы интегрирования даны.
[math]x=2cos(1+cost); y=2sint(1+cost); 0 \leqslant t \leqslant 2 \pi[/math]
Использовал формулу [math]S = \int\limits_{0}^{2 \pi } y(t)x'(t)dt[/math]
Далее нашел производную [math]x'(t)=(2cost(1+cost))'=(2cost+2cos^{2}t)'=-2sint-4cost sint=-2sint(1+2cost)[/math]
Далее подставил это все под знак интеграла и преобразовал. Получилось
[math]S=-4 \int\limits_{0}^{2 \pi } (1+3cost+cos^{2}t-3cos^{3}t-2cos^{4}t) dt[/math]. Проверял, вроде правильно. А дальше вообще никак не выходит... После интегрирования получаю одни синусы, и получается, что площадь равна 0. Подскажите, пожалуйста, где я допустил ошибку/ошибки??
[math]F(x)=\int (1+3cost+cos^{2}t-3cos^{3}t-2cos^{4}t) dt=\int dt+3\int cost dt+\int cos^{2}tdt-3\int cos^{3}tdt-2\int cos^{4}tdt[/math]
[math]\int dt=t+C[/math]
[math]\3\int cost dt=sint+C[/math]
[math]\int cos^{2}tdt=\int \frac{ 1+cos2t }{ 2 } dt=\frac{ 1 }{ 2 }\int (1+cos2t)dt=\frac{ 1 }{ 2 }(t+\frac{ 1 }{ 2 }sin2t)+C=\frac{ 1 }{ 2 }t+\frac{ 1 }{ 4 } sin2t+C[/math]
[math]3\int cos^{3}tdt=3\int cos^{2}t costdt=3\int cos^{2}t d(sint)=3\int (1-sin^{2}t)d(sint)=3(sint-\frac{ cos^{3}t}{ 3 })+C=3sint-sin^{3}t+C[/math]
[math]2\int cos^{4}tdt=2\int \frac{ 1+cos^{2}2t }{ 2 } dt=\int (1+cos^{2}2t)dt=t+\int cos^{2}2tdt=t+\int \frac{ 1+cos4t }{ 2 } dt=t+\frac{ 1 }{ 2 } \int (1+cos4t)dt=t+\frac{ 1 }{ 2 }t+\frac{ 1 }{ 8 }sin4t+C=\frac{ 3 }{ 2 }t+\frac{ 1 }{ 8 } sin4t+C[/math]
[math]F(x)=t+3sint+\frac{ 1 }{ 2 }t+\frac{ 1 }{ 4 }sin2t-3sint+sin^{3}t-\frac{ 3 }{ 2 }t-\frac{ 1 }{ 8 }sin4t+C=\frac{ 1 }{ 4 } sin2t+sin^{3}t-\frac{ 1 }{8 }sin4t+C[/math]
Вот.... Получились одни синусы, которые при подстановке [math]2\pi[/math] занулятся все. Подскажите, пожалуйста, где ошибка...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:06 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3944
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
847 раз в 769 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vas60005596 писал(а):
Использовал формулу S = \int\limits_{0}^{2 \pi } y(t)x'(t)dt

А можно ли применять так сразу эту формулу? нет ли там каких-то ограничений?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2013, 19:13
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
vas60005596 писал(а):
Использовал формулу S = \int\limits_{0}^{2 \pi } y(t)x'(t)dt

А можно ли применять так сразу эту формулу? нет ли там каких-то ограничений?

Вроде бы да. Тем более пределы интегрирования даны сразу, поэтому не надо их определять.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:25 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3944
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
847 раз в 769 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Понятно. Какой учебник юзаем? Можно оттуда процитировать эту теорему полностью?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2013, 19:13
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Понятно. Какой учебник юзаем? Можно оттуда процитировать эту теорему полностью?

Ой, да там не учебник, а пособие. Терехина, Фикс Высшая математика часть 3 (изд-во ТПУ). Как нам рассказывали на практике, в обычную формулу для площади [math]S=\int\limits_{a}^{b}y(x)dx[/math] подставляем вместо y(x) y(t), и считаем дифференциал dx.
P.S. Wolfram считает этот интеграл и в ответе получается[math]-6 \pi[/math]. Так что наверное, все-таки где-то вычислительная ошибка. Понять бы где...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:48 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1823
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
957 раз в 753 сообщениях
Очков репутации: 225

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А чтобы найти площадь по обычной формуле [math]y(x)[/math] при [math]x \in [a;b][/math]не должно быть больше или равно нуля ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 21:53 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3944
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
847 раз в 769 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vas60005596 писал(а):
P.S. Wolfram считает этот интеграл и в ответе получается-6 \pi. Так что наверное, все-таки где-то вычислительная ошибка. Понять бы где...

То есть то, что площадь получилась отрицательной вас совсем не смущает?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 22:07 
В сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 10:11
Сообщений: 3944
Cпасибо сказано: 70
Спасибо получено:
847 раз в 769 сообщениях
Очков репутации: 204

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
vas60005596 писал(а):
Ой, да там не учебник, а пособие. Терехина, Фикс Высшая математика часть 3 (изд-во ТПУ). Как нам рассказывали на практике, в обычную формулу для площади S=\int\limits_{a}^{b}y(x)dx подставляем вместо y(x) y(t), и считаем дифференциал dx.

Практика - это хорошо, но в теорию иногда тоже нужно заглядывать
Здесь, что ли, посмотрите
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ploshchadi-figur-v-razlichnykh-sistemakh-koordinat

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 11 мар 2015, 22:21 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2013, 19:13
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
vas60005596 писал(а):
Ой, да там не учебник, а пособие. Терехина, Фикс Высшая математика часть 3 (изд-во ТПУ). Как нам рассказывали на практике, в обычную формулу для площади S=\int\limits_{a}^{b}y(x)dx подставляем вместо y(x) y(t), и считаем дифференциал dx.

Практика - это хорошо, но в теорию иногда тоже нужно заглядывать
Здесь, что ли, посмотрите
http://mathhelpplanet.com/static.php?p=ploshchadi-figur-v-razlichnykh-sistemakh-koordinat

Так я так и сделал, в ссылке которую Вы дали, такая же формула. А Wolfram пишет отрицательное число наверное потому, что график данной фуекции расположен под осью ОУ.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Нахождение площади фигуры, заданной в параметрической форме
СообщениеДобавлено: 12 мар 2015, 00:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
16 ноя 2013, 19:13
Сообщений: 24
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
У кого-нибудь еще есть идеи, где может быть ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь фигуры, заданной параметрической кривой

в форуме Интегральное исчисление

student94

1

250

15 дек 2013, 04:38

Нахождение площади фигуры

в форуме Геометрия

Navdosh

1

158

11 дек 2014, 18:06

Нахождение наибольшей площади фигуры

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Ladytaft24

5

209

19 ноя 2017, 19:04

Кривые заданные в параметрической форме

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

rec22

6

446

22 дек 2012, 10:40

Вид кривой,заданной уравнением в комплексной форме

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

KoMMyHuCT

5

558

03 фев 2013, 01:34

1.Определенный интеграл. 2.Нахождение площади

в форуме Интегральное исчисление

Maria_rowan

1

140

07 янв 2014, 20:21

Интегралы, нахождение площади кривой

в форуме Интегральное исчисление

angelo

5

116

17 май 2017, 03:08

Построение сечения и нахождение его площади

в форуме Геометрия

GeorgeB

39

695

11 мар 2017, 23:58

Нахождение площади тетреэдра, треугольника в пространстве

в форуме Аналитическая геометрия и Векторная алгебра

Scur

1

326

29 янв 2013, 00:43

Нахождение площади боковой поверхности конуса через интеграл

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Sharu_za_matan

1

253

10 окт 2017, 22:57


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved