Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
student-it116 |
|
||
Вычислить определённые интегралы: 1. [math]\int\limits_4^7\ln(3x+1)\,dx[/math] 2. [math]\int\limits_0^{\pi/2}\cos^5x\sin2x\,dx[/math] 3. [math]\int\limits_{0}^{3}\frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx[/math] 4. [math]\int\limits_0^{\pi/3}\operatorname{tg}^3x\,dx[/math] 5. [math]\int\limits_0^\pi{x^2\sin{x}\,dx}[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
student-it116 писал(а): Очень буду благодарен людям, откликнувшимся на проблему Вычислить определённые интегралы: 1. [math]\int\limits_{4}^{7}\ln(3x+1)\,dx[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! Здесь просто надо проинтегрировать по частям один раз: [math]\int\limits_4^7\ln(3x+1)\,dx=\Bigl.{x\ln(3x+1)}\Bigl|_4^7-\int\limits_4^7\frac{3x}{3x+1}\,dx=7\ln22-4\ln13-\int\limits_4^7\frac{3x+1-1}{3x+1}\,dx=[/math] [math]=7\ln22-4\ln13-\int\limits_4^7\!\left(1-\frac{1}{3x+1}\right)\!dx=7\ln22-4\ln13-\left.{\left(x-\frac{1}{3}\ln|3x+1|\right)}\right|_4^7=[/math] [math]=7\ln22-4\ln13-\left(7-\frac{\ln22}{3}-4+\frac{\ln13}{3}\right)=\frac{1}{3}(22\ln22-13\ln13)-3.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
student-it116 писал(а): Очень буду благодарен людям, откликнувшимся на проблему Вычислить определённые интегралы: 2. [math]\int\limits_{0}^{\pi/2}\cos^5{x}\sin{2x}\,dx[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! Разложите синус по формуле двойного угла и занесите косинус под знак дифференциала: [math]\int\limits_0^{\pi/2}\cos^5x\sin2x\,dx=2\int\limits_0^{\pi/2}\cos^6x\sin{x}\,dx=-2\int\limits_0^{\pi/2}\cos^6x\,d(\cos{x})}=[/math] [math]\left.{-\frac{2}{7}\cos^7x}\right|_0^{\pi/2}=\frac{2}{7}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
student-it116 писал(а): Очень буду благодарен людям, откликнувшимся на проблему Вычислить определённые интегралы: 3. [math]\int\limits_{0}^{3}\frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! Сделайте рационализирующую подстановку: [math]x=t^2[/math] [math]\int\limits_0^3\frac{\sqrt{x}}{1+x}\,dx=\left\{\begin{gathered}x=t^2,\hfill\\dx=2t\,dt\hfill\\\end{gathered}\right\}=2\int\limits_0^{\sqrt3}\frac{t^2}{1+t^2}\,dt=2\int\limits_0^{\sqrt3}\!\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt=[/math] [math]2\left.{\Bigl(t-\operatorname{arctg}t\Bigl)}\right|_0^{\sqrt3}=2\sqrt3-\frac{2\pi}{3}.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
student-it116 писал(а): Очень буду благодарен людям, откликнувшимся на проблему Вычислить определённые интегралы: 4. [math]\int\limits_0^{\pi/3}\operatorname{tg}^3x\,dx[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! Стандартные тригонометрические преобразования и занесения косинуса под знак дифференциала: [math]\int\limits_0^{\pi/3}\operatorname{tg}^3x\,dx=\int\limits_0^{\pi/3}\frac{(1-\cos^2x)\sin{x}}{\cos^3x}\,dx=\int\limits_0^{\pi/3}\!\left(\frac{1}{\cos{x}}-\frac{1}{\cos^3x}\right)d(\cos{x})=[/math] [math]=\left.{\left(\ln|\cos{x}|+\frac{1}{2\cos^2x}\right)}\right|_0^{\pi/3}=\ln\frac{1}{2}+2-\ln1-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}-\ln2.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
student-it116 писал(а): Очень буду благодарен людям, откликнувшимся на проблему Вычислить определённые интегралы: 5. [math]\int\limits_0^\pi{x^2\sin{x}\,dx}[/math] Старался сам вычислить эти интегралы, но не получается Заранее спасибо за любую помощь! Надо проинтегрировать по частям два раза: [math]\int\limits_0^\pi{x^2\sin{x}\,dx}=-\Bigl.{x^2\cos{x}}\Bigl|_0^\pi+2\int\limits_0^\pi{x\cos{x}\,dx}[/math] [math]=\pi^2+\Bigl.{2x\sin{x}}\Bigl|_0^\pi-2\int\limits_0^\pi\sin{x}\,dx=\pi^2-4.[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Предел отношения определённых интегралов
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
292 |
02 июн 2019, 21:12 |
|
Вычисление интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
294 |
17 янв 2018, 15:57 |
|
Вычисление интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
119 |
09 май 2020, 13:58 |
|
Вычисление интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
170 |
05 май 2020, 17:23 |
|
Вычисление интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
183 |
09 май 2020, 14:10 |
|
Вычисление интегралов(проверка)
в форуме Интегральное исчисление |
6 |
294 |
05 май 2020, 14:16 |
|
Вычисление несобственных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
370 |
23 июн 2014, 18:11 |
|
Вычисление неопределенных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
29 |
996 |
30 апр 2018, 14:06 |
|
Вычисление неопределенных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
302 |
17 дек 2014, 21:46 |
|
Вычисление неопределенных интегралов
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
379 |
04 май 2018, 17:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 25 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |