Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что несобственный интеграл расходится
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=35497
Страница 1 из 1

Автор:  Zabik [ 10 сен 2014, 16:58 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что несобственный интеграл расходится

Задание: показать что данный интеграл расходится:

[math]\int\limits_{0}^{+\infty}(e^{\frac{\sin(x^2+x)}{\ln(1+x)}}-1){dx}[/math]

Я рассмотрел интеграл на промежутке от 0 до 1, и он сходится. А вот как доказать расходимость знакопеременной функции на интервале от 1 до бесконечности я не знаю, всю голову сломал.

Автор:  Radley [ 10 сен 2014, 17:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несобственный интеграл расходится

Вроде доказал, но очень громоздко вышло. (У меня ещё в Firefox не набираются формулы). Начнём что с того, что синус ограничен на бесконечности, а ln(1+x) < x. Тогда нам нужно будет доказать расходимость интеграл int (e^(1/x) - 1) dx. Это можно показать, например, с помощью замены y =1/x.

Автор:  Zabik [ 10 сен 2014, 18:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несобственный интеграл расходится

В том то и дело, что данным способом (Признаком сравнения) можно пользоваться только когда сама подъинтегральная формула положительна, ну и соответственно та на которую мы ее заменяем тоже должна быть положительна. А у нас подъинтегральная формула положительна на интервале от 0 до 1, а дальше она знакопеременна на всем интервале интегрирования. Я могу точно показать что она так же не будет сходиться абсолютно, но это к сожалению не говорит об отсутствии условной сходимости :(

Автор:  erjoma [ 10 сен 2014, 21:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несобственный интеграл расходится

Может стоит представить интеграл от 1 до бесконечности в виде суммы интегралов с такими пределами интегрирования что бы [math]\sin(x^2+x)[/math] сохранял знак и доказать расходимость этого ряда.

Автор:  Zabik [ 10 сен 2014, 21:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что несобственный интеграл расходится

Может и сработает, но
во-первых: судя по графику подынтегральной функции - интервалы между пределами интегрирования будут меняться и получится довольно сложная штука.
во-вторых: предполагается, что студенты еще не умеют работать с рядами.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/