Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

найти длину арки циклоиды
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=3459
Страница 1 из 1

Автор:  Prihod [ 15 янв 2011, 07:51 ]
Заголовок сообщения:  найти длину арки циклоиды

Найти длину арки циклоиды, заданной параметрически

[math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\y=a(1-\cos{t})\end{cases}[/math]

Решение: [math]\begin{cases}x'=\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos{t}),\\[8pt]y'=\dfrac{dy}{dt}=a\sin{t}.\end{cases}[/math] Следовательно, [math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt[/math]

Помогите решите интеграл.

Автор:  vvvv [ 15 янв 2011, 14:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

Prihod писал(а):
Найти длину арки циклоиды, заданной параметрически

[math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\y=a(1-\cos{t})\end{cases}[/math]

Решение: [math]\begin{cases}x'=\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos{t}),\\[8pt]y'=\dfrac{dy}{dt}=a\sin{t}.\end{cases}[/math] Следовательно, [math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt[/math]

Помогите решите интеграл.

Выражение под радикалом упрощается (радикал исчезает) и интеграл берется легко.

Автор:  Prihod [ 15 янв 2011, 18:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

распишите пожалуйста, не легко для меня

Автор:  mad_math [ 15 янв 2011, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

вспоминайте тригонометрию

Автор:  Prihod [ 16 янв 2011, 14:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

[math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt=a\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{2-2\cos{2t}}\,dt=a\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sin{\frac{t}{2}}\,dt=8a[/math]

верно на решал?

Автор:  vvvv [ 16 янв 2011, 18:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

Верно, верно.Этот результат давно известен :)

Автор:  mad_math [ 17 янв 2011, 00:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

откуда косинус 2t?

Автор:  Prihod [ 17 янв 2011, 11:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

опечатка

[math]\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}=\sqrt{a^2(1-2\cos{t}+\cos^2{t}+\sin^2{t}})=a\sqrt{2-2\cos{t}}[/math]

Автор:  DerW [ 24 май 2018, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: найти длину арки циклоиды

///

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/