| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| найти длину арки циклоиды http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=3459 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Prihod [ 15 янв 2011, 07:51 ] |
| Заголовок сообщения: | найти длину арки циклоиды |
Найти длину арки циклоиды, заданной параметрически [math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\y=a(1-\cos{t})\end{cases}[/math] Решение: [math]\begin{cases}x'=\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos{t}),\\[8pt]y'=\dfrac{dy}{dt}=a\sin{t}.\end{cases}[/math] Следовательно, [math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt[/math] Помогите решите интеграл. |
|
| Автор: | vvvv [ 15 янв 2011, 14:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
Prihod писал(а): Найти длину арки циклоиды, заданной параметрически [math]\begin{cases}x=a(t-\sin{t}),\\y=a(1-\cos{t})\end{cases}[/math] Решение: [math]\begin{cases}x'=\dfrac{dx}{dt}=a(1-\cos{t}),\\[8pt]y'=\dfrac{dy}{dt}=a\sin{t}.\end{cases}[/math] Следовательно, [math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt[/math] Помогите решите интеграл. Выражение под радикалом упрощается (радикал исчезает) и интеграл берется легко. |
|
| Автор: | Prihod [ 15 янв 2011, 18:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
распишите пожалуйста, не легко для меня |
|
| Автор: | mad_math [ 15 янв 2011, 19:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
вспоминайте тригонометрию |
|
| Автор: | Prihod [ 16 янв 2011, 14:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
[math]l=\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}\,dt=a\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sqrt{2-2\cos{2t}}\,dt=a\int\limits_{0}^{2\pi}\!\sin{\frac{t}{2}}\,dt=8a[/math] верно на решал? |
|
| Автор: | vvvv [ 16 янв 2011, 18:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
Верно, верно.Этот результат давно известен
|
|
| Автор: | mad_math [ 17 янв 2011, 00:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
откуда косинус 2t? |
|
| Автор: | Prihod [ 17 янв 2011, 11:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
опечатка [math]\sqrt{a^2(1-\cos{t})^2+a^2 \sin^2{t}}=\sqrt{a^2(1-2\cos{t}+\cos^2{t}+\sin^2{t}})=a\sqrt{2-2\cos{t}}[/math] |
|
| Автор: | DerW [ 24 май 2018, 22:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: найти длину арки циклоиды |
/// |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|