Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Тройной интеграл
СообщениеДобавлено: 08 июн 2014, 10:19 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2012, 21:30
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго дня!
Помогите разобраться с тройными интегралами:
1. Вычислить [math]\iiint\limits_G {z\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdydz}[/math] если [math]G = \{ (x,y,z) \in \left. {{R^3}} \right|{x^2} + {y^2} \leqslant 2x;\;0 \leqslant z \leqslant y\}[/math]

2. Найти объем тела ограниченного поверхностью [math]{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} = {a^2}({x^2} + {y^2})[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тройной интеграл
СообщениеДобавлено: 08 июн 2014, 14:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Цилиндрические координаты.
2. Сферические координаты.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тройной интеграл
СообщениеДобавлено: 08 июн 2014, 19:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2012, 21:30
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это я почитал и понял)
А как расписать с пределами интегрирования? А дальше я смогу посчитать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тройной интеграл
СообщениеДобавлено: 08 июн 2014, 22:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. [math]\int\limits_0^{\pi |2}{d\varphi}\int\limits_0^{2\cos \varphi}{{r^2}dr}\int\limits_0^{r\sin \varphi}{zdz}[/math]

2. [math]\int\limits_0^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_0^\pi{\sin \theta \;d\theta}\int\limits_0^{a\sin \theta}{{\rho ^2}d\rho}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Тройной интеграл
СообщениеДобавлено: 09 июн 2014, 00:40 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 янв 2012, 21:30
Сообщений: 33
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вот такие вещи у меня получились:
Первый:
[math]\begin{gathered} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2}dr\int\limits_0^{r\sin \varphi } {zdz} } } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2} \cdot (\left. {\frac{{{z^2}}}{2}} \right|_0^{r\sin \varphi })dr = \frac{1}{2}} } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2} \cdot {r^2}{{\sin }^2}\varphi dr = } } \hfill \\ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot \left. {\frac{{{r^5}}}{5}} \right|_0^{2\cos \varphi }d\varphi } = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {2^5} \cdot {{\cos }^5}\varphi d\varphi } = \frac{{32}}{{10}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {{\cos }^5}\varphi d\varphi } = \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {{(1 - {{\sin }^2}\varphi )}^2}d(\sin \varphi ) = } \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot (1 - 2{{\sin }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi )d(\sin \varphi ) = } \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^2}\varphi - 2{{\sin }^4}\varphi + {{\sin }^6}\varphi )d(\sin \varphi ) = \frac{{16}}{5}} \left. {\left( {\frac{{{{\sin }^3}\varphi }}{3} - \frac{{2{{\sin }^5}\varphi }}{5} + \frac{{{{\sin }^7}\varphi }}{7}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7}} \right) = \frac{{16}}{5}(\frac{{35 - 42 + 15}}{{105}}) = \frac{{16 \cdot 8}}{{5 \cdot 105}} = \frac{{128}}{{525}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Второй:
[math]\begin{gathered} V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {\int\limits_0^{a\sin \theta } {{\rho ^2}\sin \theta d\rho d\theta d\varphi } } } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta \int\limits_0^{a\sin \theta } {{\rho ^2}d\rho } } } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta \cdot \left. {\frac{{{\rho ^3}}}{3}} \right|_0^{a\sin \theta }d\theta = } } \hfill \\ = \frac{1}{3}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta \cdot {a^3}{{\sin }^3}\theta d\theta = } } \frac{{{a^3}}}{3}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^4}\theta d\theta = } \left[ {\int {{{\sin }^4}\theta d\theta = \frac{1}{{32}}\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} } \right] = } \hfill \\ = \frac{{{a^3}}}{{96}}\int\limits_0^{2\pi } {\left. {\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} \right|} _0^\pi d\varphi = \frac{{{a^3}}}{{96}} \cdot 2\pi \left. {\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} \right|_0^\pi = \hfill \\ = \frac{{{a^3}\pi }}{{48}} \cdot 12\pi = \frac{{{a^3}{\pi ^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

firedragon44

2

164

28 дек 2021, 01:20

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

ExtreMaLLlka

3

560

02 дек 2015, 16:22

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Evgenii123456

3

186

10 дек 2021, 17:42

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

0730574

5

434

15 окт 2021, 16:57

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

3

409

06 окт 2018, 10:26

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

leonidzilb

1

236

19 июн 2020, 19:55

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

malchikov_xyz

5

212

02 дек 2019, 23:27

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kss_13

3

246

01 май 2014, 11:32

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

getshaky

3

353

25 сен 2017, 19:11

Тройной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

jeronimo

0

221

11 дек 2016, 19:47


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved