Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ronald13 |
|
|
Помогите разобраться с тройными интегралами: 1. Вычислить [math]\iiint\limits_G {z\sqrt {{x^2} + {y^2}} dxdydz}[/math] если [math]G = \{ (x,y,z) \in \left. {{R^3}} \right|{x^2} + {y^2} \leqslant 2x;\;0 \leqslant z \leqslant y\}[/math] 2. Найти объем тела ограниченного поверхностью [math]{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} = {a^2}({x^2} + {y^2})[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. Цилиндрические координаты.
2. Сферические координаты. |
||
Вернуться к началу | ||
ronald13 |
|
|
Это я почитал и понял)
А как расписать с пределами интегрирования? А дальше я смогу посчитать. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
1. [math]\int\limits_0^{\pi |2}{d\varphi}\int\limits_0^{2\cos \varphi}{{r^2}dr}\int\limits_0^{r\sin \varphi}{zdz}[/math]
2. [math]\int\limits_0^{2\pi}{d\varphi}\int\limits_0^\pi{\sin \theta \;d\theta}\int\limits_0^{a\sin \theta}{{\rho ^2}d\rho}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
ronald13 |
|
|
Вот такие вещи у меня получились:
Первый: [math]\begin{gathered} \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2}dr\int\limits_0^{r\sin \varphi } {zdz} } } = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2} \cdot (\left. {\frac{{{z^2}}}{2}} \right|_0^{r\sin \varphi })dr = \frac{1}{2}} } \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {d\varphi \int\limits_0^{2\cos \varphi } {{r^2} \cdot {r^2}{{\sin }^2}\varphi dr = } } \hfill \\ = \frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot \left. {\frac{{{r^5}}}{5}} \right|_0^{2\cos \varphi }d\varphi } = \frac{1}{{10}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {2^5} \cdot {{\cos }^5}\varphi d\varphi } = \frac{{32}}{{10}}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {{\cos }^5}\varphi d\varphi } = \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot {{(1 - {{\sin }^2}\varphi )}^2}d(\sin \varphi ) = } \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {{{\sin }^2}\varphi \cdot (1 - 2{{\sin }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi )d(\sin \varphi ) = } \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\sin }^2}\varphi - 2{{\sin }^4}\varphi + {{\sin }^6}\varphi )d(\sin \varphi ) = \frac{{16}}{5}} \left. {\left( {\frac{{{{\sin }^3}\varphi }}{3} - \frac{{2{{\sin }^5}\varphi }}{5} + \frac{{{{\sin }^7}\varphi }}{7}} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = \hfill \\ = \frac{{16}}{5}\left( {\frac{1}{3} - \frac{2}{5} + \frac{1}{7}} \right) = \frac{{16}}{5}(\frac{{35 - 42 + 15}}{{105}}) = \frac{{16 \cdot 8}}{{5 \cdot 105}} = \frac{{128}}{{525}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] Второй: [math]\begin{gathered} V = \int\limits_0^{2\pi } {\int\limits_0^\pi {\int\limits_0^{a\sin \theta } {{\rho ^2}\sin \theta d\rho d\theta d\varphi } } } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta d\theta \int\limits_0^{a\sin \theta } {{\rho ^2}d\rho } } } = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta \cdot \left. {\frac{{{\rho ^3}}}{3}} \right|_0^{a\sin \theta }d\theta = } } \hfill \\ = \frac{1}{3}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {\sin \theta \cdot {a^3}{{\sin }^3}\theta d\theta = } } \frac{{{a^3}}}{3}\int\limits_0^{2\pi } {d\varphi \int\limits_0^\pi {{{\sin }^4}\theta d\theta = } \left[ {\int {{{\sin }^4}\theta d\theta = \frac{1}{{32}}\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} } \right] = } \hfill \\ = \frac{{{a^3}}}{{96}}\int\limits_0^{2\pi } {\left. {\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} \right|} _0^\pi d\varphi = \frac{{{a^3}}}{{96}} \cdot 2\pi \left. {\left( {12\theta - 8\sin 2\theta + \sin 4\theta } \right)} \right|_0^\pi = \hfill \\ = \frac{{{a^3}\pi }}{{48}} \cdot 12\pi = \frac{{{a^3}{\pi ^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \][/math] |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
164 |
28 дек 2021, 01:20 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
560 |
02 дек 2015, 16:22 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
186 |
10 дек 2021, 17:42 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
434 |
15 окт 2021, 16:57 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
409 |
06 окт 2018, 10:26 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
236 |
19 июн 2020, 19:55 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
212 |
02 дек 2019, 23:27 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
246 |
01 май 2014, 11:32 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
3 |
353 |
25 сен 2017, 19:11 |
|
Тройной интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
221 |
11 дек 2016, 19:47 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 41 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |