Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Объем тела, ограниченного сферой и цилиндром - Как найти?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=3281
Страница 1 из 1

Автор:  Student91 [ 08 янв 2011, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Объем тела, ограниченного сферой и цилиндром - Как найти?

Добрый вечер!

Я себе уже голову сломал, не могу правильно пределы расставить...
При составлении 3-го интеграла, ввел цилиндрическую систему...

[math]x^2+y^2+z^2=25[/math] (сфера),
[math]x^2+y^2 \leqslant 21[/math] (цилиндр),
[math]z=1[/math] (плоскость).

Автор:  Alexdemath [ 09 янв 2011, 22:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

Я так понимаю, что [math]z\geqslant1[/math], тогда

[math]\begin{aligned} V&=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant21}dxdy\int\limits_1^{\sqrt{25-x^2-y^2}}dz=\iint\limits_{x^2+y^2\leqslant21}\!\left(\sqrt{25-x^2-y^2}-1\right)\!dxdy=\left\{\begin{gathered}x=r\cos\varphi,\hfill\\y=r\sin\varphi\hfill\\\end{gathered}\right\}=\\[5pt] &=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^{\sqrt{21}}\!\left(\sqrt{25-r^2}-1\right)\!r\,dr=2\pi\!\left[-\frac{1}{2}\int\limits_0^{\sqrt{21}}\!\sqrt{25-r^2}\,d(25-r^2)-\int\limits_0^{\sqrt{21}}r\,dr\right]=\\[5pt] &=\left.{-2\pi\!\left(\frac{1}{3}(25-r^2)^{3/2}+\frac{r^2}{2}\right)\!}\right|_0^{\sqrt{21}}=-2\pi\!\left(\frac{1}{3}\cdot4^{3/2}+\frac{21}{2}-\frac{1}{3}\cdot25^{3/2}\right)=\\[5pt] &=-2\pi\!\left(\frac{8}{3}+\frac{21}{2}-\frac{125}{3}\right)=2\pi\!\left(\frac{117}{3}-\frac{21}{2}\right)=2\pi\cdot\frac{171}{6}=57\pi \end{aligned}[/math]

Всё понятно??

Автор:  Student91 [ 13 янв 2011, 01:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

Дело в том, что если взять абсолютную высоту такого цилиндра то это будет 6, а по формуле объема...V=П*R^2*h, получается 126 П, наша фигура, это, приблизительно, 5\7 абсолютного цилиндра, тобеж 90 П...Это мне так преподаватель объяснил...у меня получилось 61 П он сказал :" очень мало, иди пересчитывай.... :(

Автор:  Alexdemath [ 13 янв 2011, 02:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

Student91

"абсолютная высота цилиндра" будет 4 (а не 6): высота цилиндра изменяется от z=1 до z=5 (так как радиус сферы 5).

Кстати, Вы так и не написали [math]z\geqslant1[/math] или [math]z\leqslant1[/math].

Напишите условие задания в точности как в оригинале

Автор:  Student91 [ 13 янв 2011, 03:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

А точно)) спасибо огромное, вот она ошибочка где)) 5\7 V тогда, примерно, 60 будет))Тогда все сходится)

Автор:  dark87 [ 13 янв 2012, 15:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

Добрый день нужна помощь, что то не получается решить
2z=8+x^2+y^2
x^2+y^2=4
z=0

Автор:  Alexdemath [ 13 янв 2012, 22:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Объем тела, ограниченного поверхностями.

dark87

Данное тело ограничено сверху параболоидом [math]z=4+\frac{x^2+y^2}{2}[/math], с боков цилиндром [math]x^2+y^2=4[/math] и снизу плоскостью [math]z=0[/math]. Проекцией тела на плоскость [math]Oxy[/math] является круг [math]x^2+y^2=4[/math] радиуса 2 и с центром в начале координат [math](0;0)[/math].
Запишем пространственную область [math](T)[/math], образованную пересечением данных поверхностей, в виде неравенств:

[math]T= \left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon\,x^2+y^2\leqslant 4,~ 0\leqslant z\leqslant4+\frac{x^2+y^2}{2}\right\}.[/math]

Перейдём в цилиндрическую систему координат: [math]\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi,\\ z=z,\end{cases}|J|=r.[/math]

[math]T^{\ast}= \left\{(r,\varphi,z)\in\mathbb{R}^3\colon\, 0\leqslant\varphi \leqslant 2\pi,~ 0 \leqslant r \leqslant 2,~ 0 \leqslant z \leqslant4+\frac{r^2}{2}\right\}[/math]

Вычислим искомый объём [math](V)[/math] тела с помощью тройного интеграла:

[math]\begin{aligned}V&= \iiint\limits_T dxdydz= \iiint\limits_{T^{\ast}}|J|\,dr d\varphi dz= \int\limits_0^{2\pi}d\varphi \int\limits_0^2 {rdr} \int\limits_0^{4+\tfrac{r^2}{2}}dz=\\[5pt] &=2\pi \int\limits_0^2\!\left(4r + \frac{r^3}{2}\right)\!dr= \left.{2\pi\!\left(2r^2+ \frac{1}{8}\,r^4\right)}\!\right|_0^2 = 2\pi(8+2)=20\pi \end{aligned}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/