Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти ошибку в решении интеграла
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=30720
Страница 1 из 2

Автор:  zumm [ 31 янв 2014, 12:56 ]
Заголовок сообщения:  Найти ошибку в решении интеграла

Приветствую.
Никак не могу найти ошибку в своем решении, хотя и знаю, что оно не верное. Помогите, пожалуйста.

[math]\int \frac{ dx }{ (x^2+x)^{ 3 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2} } = \int \frac{ dx }{ (x^2+x)\sqrt{x^2+x} } =[/math]

[math]\left| t = \sqrt{x^2+x}[/math]
[math]\left| dt = \frac{ x + \frac{ 1 }{ 2 } }{ \sqrt{x^2+x} }dx[/math]
[math]\left| x^2+x = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow t = \sqrt{x^2+x} = t = \sqrt{(x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| t^2 = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow x + \frac{ 1 }{ 2 } = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| dt = \frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{ \sqrt{x^2+x} }dx \Rightarrow \frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}} = \frac{dx}{\sqrt{x^2+x}}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ t^2 \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } =[/math]

[math]\left| u = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \Rightarrow du = \frac{tdt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}[/math]
[math]\left| dv = \frac{ dt }{ t^2 } \Rightarrow v = -\frac{1}{t}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} = \ln{\left| t + \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \right| } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} =[/math]
[math]\ln{\left| \sqrt{x^2+x} + x + \frac{ 1 }{ 2 }} \right| } -\frac{x + \frac{ 1 }{ 2 } }{\sqrt{x^2+x}}[/math]

Очень хочется понять, что я сделал не так, и почему.

Автор:  erjoma [ 31 янв 2014, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

При интегрирование по частям [math]u[/math] не верно взяли .
[math]u = \frac{1}{{\sqrt {{t^2} + \frac{1}{4}} }}[/math]

По-моему мнению, изначально нужно применить было одну из подстановок Эйлера или одну из следующих подстановок [math]\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\cos t}} = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\sin t}} = x + \frac{1}{2}[/math]

Автор:  zumm [ 31 янв 2014, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

erjoma, вот же черт. Как глупо. А сколько времени было потрачено на поиск этой ошибки...

Спасибо большое.

Автор:  erjoma [ 31 янв 2014, 14:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Пожалуйста.
В следующий раз когда не можете найти ошибку в решении задачи, отвлекитесь на полчаса от этой задачи. А потом снова ищите. Как правило, ошибка быстро находится. Сам так делаю.

Автор:  Avgust [ 31 янв 2014, 16:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Слава Чебышеву!
Это дифференциальный бином. Элементарно берется подстановкой

[math]t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/math]

следовательно [math]x=\frac{1}{t^2-1}[/math]

[math]dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\, dt[/math]

В одно действие получите [math]-2t-\frac 2t +C[/math]

Ну, и обратную замену не забудьте.

Автор:  erjoma [ 31 янв 2014, 16:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Avgust
Предложенная Вами элементарная подстановка совпадает с одной из подстановок Эйлера: [math]tx = \sqrt {{x^2} + x}[/math]

Автор:  Avgust [ 31 янв 2014, 19:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

erjomaЭто не мной предложено - есть стандартная методика решения дифф. бинома: простая, четкая, прекрасно работающая. Ее желательно знать так же, как и интегрирования по частям.
Советую автору выучить пару абзацев из http://ru.wikipedia.org/wiki/%C4%E8%F4% ... 8%ED%EE%EC
Очень часто помогает!

Автор:  Wersel [ 31 янв 2014, 20:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Avgust писал(а):
простая

Не всегда. Иногда проще другие методы. Например в этом случае [math]\int (x^2+2)^{-\frac{7}{2}} dx[/math] намного проще тригонометрическая подстановка.

Автор:  erjoma [ 31 янв 2014, 20:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Стандартно, не всегда проще.
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + x} \right)}^3}} }}} = \left( \begin{array}{l}\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}{\mathop{\rm sh}\nolimits} tdt = dx\end{array} \right) = \int {\frac{{4dt}}{{{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^2}t}}} = - 4{\mathop{\rm cth}\nolimits} t + C = \frac{{ - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} + C[/math]

Автор:  Avgust [ 31 янв 2014, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти ошибку в решении интеграла

Не могу спорить - не проверял. Конечно, интеграл [math]\int (x^2+5)^1\, dx[/math] следует еще проще брать. Зависит от задачи, навык приходит с опытом.

erjoma! В результате Вы получили неверный ответ. В числителе должно быть
[math]-2(2x+1)[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/