Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 11:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2014, 11:11
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую.
Никак не могу найти ошибку в своем решении, хотя и знаю, что оно не верное. Помогите, пожалуйста.

[math]\int \frac{ dx }{ (x^2+x)^{ 3 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2} } = \int \frac{ dx }{ (x^2+x)\sqrt{x^2+x} } =[/math]

[math]\left| t = \sqrt{x^2+x}[/math]
[math]\left| dt = \frac{ x + \frac{ 1 }{ 2 } }{ \sqrt{x^2+x} }dx[/math]
[math]\left| x^2+x = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow t = \sqrt{x^2+x} = t = \sqrt{(x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| t^2 = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow x + \frac{ 1 }{ 2 } = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| dt = \frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{ \sqrt{x^2+x} }dx \Rightarrow \frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}} = \frac{dx}{\sqrt{x^2+x}}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ t^2 \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } =[/math]

[math]\left| u = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \Rightarrow du = \frac{tdt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}[/math]
[math]\left| dv = \frac{ dt }{ t^2 } \Rightarrow v = -\frac{1}{t}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} = \ln{\left| t + \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \right| } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} =[/math]
[math]\ln{\left| \sqrt{x^2+x} + x + \frac{ 1 }{ 2 }} \right| } -\frac{x + \frac{ 1 }{ 2 } }{\sqrt{x^2+x}}[/math]

Очень хочется понять, что я сделал не так, и почему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 12:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При интегрирование по частям [math]u[/math] не верно взяли .
[math]u = \frac{1}{{\sqrt {{t^2} + \frac{1}{4}} }}[/math]

По-моему мнению, изначально нужно применить было одну из подстановок Эйлера или одну из следующих подстановок [math]\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\cos t}} = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\sin t}} = x + \frac{1}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 12:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2014, 11:11
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma, вот же черт. Как глупо. А сколько времени было потрачено на поиск этой ошибки...

Спасибо большое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 13:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста.
В следующий раз когда не можете найти ошибку в решении задачи, отвлекитесь на полчаса от этой задачи. А потом снова ищите. Как правило, ошибка быстро находится. Сам так делаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 15:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Слава Чебышеву!
Это дифференциальный бином. Элементарно берется подстановкой

[math]t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/math]

следовательно [math]x=\frac{1}{t^2-1}[/math]

[math]dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\, dt[/math]

В одно действие получите [math]-2t-\frac 2t +C[/math]

Ну, и обратную замену не забудьте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 15:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Предложенная Вами элементарная подстановка совпадает с одной из подстановок Эйлера: [math]tx = \sqrt {{x^2} + x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 18:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjomaЭто не мной предложено - есть стандартная методика решения дифф. бинома: простая, четкая, прекрасно работающая. Ее желательно знать так же, как и интегрирования по частям.
Советую автору выучить пару абзацев из http://ru.wikipedia.org/wiki/%C4%E8%F4% ... 8%ED%EE%EC
Очень часто помогает!


Последний раз редактировалось Avgust 31 янв 2014, 19:12, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 19:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
простая

Не всегда. Иногда проще другие методы. Например в этом случае [math]\int (x^2+2)^{-\frac{7}{2}} dx[/math] намного проще тригонометрическая подстановка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 19:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1888
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 275
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартно, не всегда проще.
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + x} \right)}^3}} }}} = \left( \begin{array}{l}\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}{\mathop{\rm sh}\nolimits} tdt = dx\end{array} \right) = \int {\frac{{4dt}}{{{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^2}t}}} = - 4{\mathop{\rm cth}\nolimits} t + C = \frac{{ - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 19:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могу спорить - не проверял. Конечно, интеграл [math]\int (x^2+5)^1\, dx[/math] следует еще проще брать. Зависит от задачи, навык приходит с опытом.

erjoma! В результате Вы получили неверный ответ. В числителе должно быть
[math]-2(2x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Не могу найти ошибку в решении тройного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

fffffffff

3

169

14 апр 2022, 12:56

Не могу найти ошибку при решении тройного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

fffffffff

7

208

14 апр 2022, 10:03

Не понимаю, где я делаю ошибку в решении интеграла

в форуме Интегральное исчисление

xxnitrosxx

6

327

04 дек 2018, 12:04

Найти ошибку в решении

в форуме Алгебра

Yabereza2603

4

281

20 янв 2019, 22:47

Найти ошибку в решении триг уравнения

в форуме Тригонометрия

powerafin

2

226

28 авг 2021, 16:18

Укажите ошибку в решении

в форуме Геометрия

Andreww

4

390

06 мар 2018, 18:19

Найдите ошибку в решении уравнения

в форуме Алгебра

uiiiiiii

6

219

03 ноя 2020, 00:12

требуется распознать ошибку в решении

в форуме Геометрия

tebelev9660

2

621

26 янв 2017, 20:50

Не понимаю, где я делаю ошибку в решении предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

xxnitrosxx

15

499

28 окт 2018, 22:09

Определить ошибку в решении ( есть и ответ и иное решение)

в форуме Алгебра

Darpoom

6

271

26 сен 2020, 15:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Yandex [bot] и гости: 29


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved