Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 12:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2014, 12:11
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Приветствую.
Никак не могу найти ошибку в своем решении, хотя и знаю, что оно не верное. Помогите, пожалуйста.

[math]\int \frac{ dx }{ (x^2+x)^{ 3 \!\!\not{\phantom{|}}\, 2} } = \int \frac{ dx }{ (x^2+x)\sqrt{x^2+x} } =[/math]

[math]\left| t = \sqrt{x^2+x}[/math]
[math]\left| dt = \frac{ x + \frac{ 1 }{ 2 } }{ \sqrt{x^2+x} }dx[/math]
[math]\left| x^2+x = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow t = \sqrt{x^2+x} = t = \sqrt{(x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| t^2 = (x + \frac{ 1 }{ 2 })^2-\frac{ 1 }{ 4 } \Rightarrow x + \frac{ 1 }{ 2 } = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}[/math]
[math]\left| \Downarrow[/math]
[math]\left| dt = \frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{ \sqrt{x^2+x} }dx \Rightarrow \frac{dt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}} = \frac{dx}{\sqrt{x^2+x}}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ t^2 \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } =[/math]

[math]\left| u = \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \Rightarrow du = \frac{tdt}{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}[/math]
[math]\left| dv = \frac{ dt }{ t^2 } \Rightarrow v = -\frac{1}{t}[/math]

[math]= \int \frac{ dt }{ \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} = \ln{\left| t + \sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }} \right| } -\frac{\sqrt{t^2+\frac{ 1 }{ 4 }}}{t} =[/math]
[math]\ln{\left| \sqrt{x^2+x} + x + \frac{ 1 }{ 2 }} \right| } -\frac{x + \frac{ 1 }{ 2 } }{\sqrt{x^2+x}}[/math]

Очень хочется понять, что я сделал не так, и почему.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 13:41 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При интегрирование по частям [math]u[/math] не верно взяли .
[math]u = \frac{1}{{\sqrt {{t^2} + \frac{1}{4}} }}[/math]

По-моему мнению, изначально нужно применить было одну из подстановок Эйлера или одну из следующих подстановок [math]\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\cos t}} = x + \frac{1}{2},\frac{1}{{2\sin t}} = x + \frac{1}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 13:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2014, 12:11
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma, вот же черт. Как глупо. А сколько времени было потрачено на поиск этой ошибки...

Спасибо большое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 14:07 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста.
В следующий раз когда не можете найти ошибку в решении задачи, отвлекитесь на полчаса от этой задачи. А потом снова ищите. Как правило, ошибка быстро находится. Сам так делаю.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 16:31 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9995
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Слава Чебышеву!
Это дифференциальный бином. Элементарно берется подстановкой

[math]t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}[/math]

следовательно [math]x=\frac{1}{t^2-1}[/math]

[math]dx=-\frac{2t}{(t^2-1)^2}\, dt[/math]

В одно действие получите [math]-2t-\frac 2t +C[/math]

Ну, и обратную замену не забудьте.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 16:43 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Предложенная Вами элементарная подстановка совпадает с одной из подстановок Эйлера: [math]tx = \sqrt {{x^2} + x}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 19:54 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9995
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjomaЭто не мной предложено - есть стандартная методика решения дифф. бинома: простая, четкая, прекрасно работающая. Ее желательно знать так же, как и интегрирования по частям.
Советую автору выучить пару абзацев из http://ru.wikipedia.org/wiki/%C4%E8%F4% ... 8%ED%EE%EC
Очень часто помогает!


Последний раз редактировалось Avgust 31 янв 2014, 20:12, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 20:11 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
простая

Не всегда. Иногда проще другие методы. Например в этом случае [math]\int (x^2+2)^{-\frac{7}{2}} dx[/math] намного проще тригонометрическая подстановка.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 20:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Стандартно, не всегда проще.
[math]\int {\frac{{dx}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + x} \right)}^3}} }}} = \left( \begin{array}{l}\frac{1}{2}{\mathop{\rm ch}\nolimits} t = x + \frac{1}{2}\\\frac{1}{2}{\mathop{\rm sh}\nolimits} tdt = dx\end{array} \right) = \int {\frac{{4dt}}{{{{{\mathop{\rm sh}\nolimits} }^2}t}}} = - 4{\mathop{\rm cth}\nolimits} t + C = \frac{{ - 2\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + x} }} + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти ошибку в решении интеграла
СообщениеДобавлено: 31 янв 2014, 20:18 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9995
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не могу спорить - не проверял. Конечно, интеграл [math]\int (x^2+5)^1\, dx[/math] следует еще проще брать. Зависит от задачи, навык приходит с опытом.

erjoma! В результате Вы получили неверный ответ. В числителе должно быть
[math]-2(2x+1)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти ошибку в решение интеграла. И чертеж

в форуме Интегральное исчисление

MyXaSA

0

122

07 май 2013, 21:23

требуется распознать ошибку в решении

в форуме Геометрия

tebelev9660

2

85

26 янв 2017, 21:50

Запутался при решении интеграла .

в форуме Интегральное исчисление

artterrm

2

139

02 янв 2014, 05:42

Совет в решении неопределенного интеграла

в форуме Интегральное исчисление

vitya2014

5

58

18 янв 2017, 07:23

Объясните 1 пункт в решении интеграла

в форуме Интегральное исчисление

AlexandrProshin

1

137

25 июн 2015, 03:31

Помощь в решении производной функции и опред. интеграла

в форуме Интегральное исчисление

w0nd3rful

3

155

10 дек 2014, 15:45

Найти ошибку

в форуме Векторный анализ и Теория поля

zhenya

8

324

25 ноя 2012, 17:37

Бейсик, найти ошибку

в форуме Информатика и Компьютерные науки

liboda

1

280

13 дек 2012, 22:24

Не могу найти ошибку

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Th1e4

1

72

24 дек 2016, 17:00

Найти ошибку в производной.

в форуме Дифференциальное исчисление

Tany22222

1

161

26 дек 2011, 15:18


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 15


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved