Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29442 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 10:52 ] |
Заголовок сообщения: | Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
Подскажите пожалуйста [math]\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{\sin x}{(2x-\sin(\ln x))^\alpha } }[/math] Вроде бы исследовал на абсолютную сходимость [math]\left| \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha } \right| \leqslant \left| \frac{1}{(2x-1)^\alpha } \right| \leqslant \left| \frac{1}{x^\alpha } \right|[/math] при [math]\alpha>1[/math] сходится абсолютно, [math]\leqslant 1[/math] абсолютной сходимости нет(это правильно?) условную проверить не знаю как пробовал по Дирихле [math]f= \sin x[/math], [math]g=\frac{1}{(2x-\sin(\ln x))^\alpha}[/math] но не получилось |
Автор: | grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 13:33 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
AlexandrVMK писал(а): ... [math]$\leq 1$[/math] абсолютной сходимости нет(это правильно?) А это с какой стати? Ведь достаточное условие не является необходимым.
.. |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 15:39 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
grigoriew-grisha писал(а): AlexandrVMK писал(а): ... абсолютной сходимости нет(это правильно?) .. А это с какой стати? Ведь достаточное условие не является необходимым. [math]\mid \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1}{(2x+1)^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1}{3x^\alpha } \mid[/math] при [math]\alpha \leq 1[/math] абсолютной сходимости нет не могли бы вы подсказать что нибудь в отношении условной сходимости? |
Автор: | grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 15:47 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
Так вы написали ложное неравенство, которое ничего не доказывает. |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 15:51 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
grigoriew-grisha писал(а): Так вы написали ложное неравенство, которое ничего не доказывает. f(x)>g(x) если [math]\int g(x)[/math] расходится, то расходится и [math]\int f(x)[/math] тоже расходится разве нет? |
Автор: | grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 15:55 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
А разве модуль синуса всегда не меньше чем 1??? |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 16:00 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
а, ну да... спасибо за замечание, но я был бы очень благодарен если бы вы подсказали что делать с примером дальше |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 18:07 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
[math]\mid \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha }\mid \geq \mid \frac{sin^2(x)}{(2x+1)^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1-cos(2x)}{2*(3x)^\alpha } \mid = \mid \frac{1}{2*(3x)^\alpha } -\frac{cos(2x)}{2*(3x)^\alpha } \mid[/math] расходящийся(при альфа меньше 1) + сходящийся(по дирихле) = расходящийся абсолютной сходимости нет |
Автор: | grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 18:17 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
Вот это уже хорошо! |
Автор: | AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 20:06 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость |
[math]\frac{1}{(2x + sin(ln(x)))^\alpha }[/math] можно утверждать что функция непрерывно дифференцируема при [math]0<\alpha\leq 1[/math] ? сомнение в том, что в 0 она не определена. но интеграл от 2 до бесконечности, для признака дирихле достаточно того, что функция непрерывно дифференцируема на множестве от 2 до бесконечности? |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |