Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=29442
Страница 1 из 2

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 10:52 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

Подскажите пожалуйста

[math]\int\limits_{2}^{+\infty}{\frac{\sin x}{(2x-\sin(\ln x))^\alpha } }[/math]

Вроде бы исследовал на абсолютную сходимость
[math]\left| \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha } \right| \leqslant \left| \frac{1}{(2x-1)^\alpha } \right| \leqslant \left| \frac{1}{x^\alpha } \right|[/math]
при [math]\alpha>1[/math] сходится абсолютно, [math]\leqslant 1[/math] абсолютной сходимости нет(это правильно?)
условную проверить не знаю как
пробовал по Дирихле [math]f= \sin x[/math], [math]g=\frac{1}{(2x-\sin(\ln x))^\alpha}[/math] но не получилось

Автор:  grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 13:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

AlexandrVMK писал(а):
... [math]$\leq 1$[/math] абсолютной сходимости нет(это правильно?)
..
А это с какой стати? Ведь достаточное условие не является необходимым.

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 15:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

grigoriew-grisha писал(а):
AlexandrVMK писал(а):
... абсолютной сходимости нет(это правильно?)
..
А это с какой стати? Ведь достаточное условие не является необходимым.


[math]\mid \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1}{(2x+1)^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1}{3x^\alpha } \mid[/math]

при [math]\alpha \leq 1[/math] абсолютной сходимости нет

не могли бы вы подсказать что нибудь в отношении условной сходимости?

Автор:  grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 15:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

Так вы написали ложное неравенство, которое ничего не доказывает. :hh:)

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 15:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

grigoriew-grisha писал(а):
Так вы написали ложное неравенство, которое ничего не доказывает. :hh:)

f(x)>g(x)
если [math]\int g(x)[/math] расходится, то расходится и [math]\int f(x)[/math] тоже расходится
разве нет?

Автор:  grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

А разве модуль синуса всегда не меньше чем 1??? :shock: :ROFL:

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

а, ну да...
спасибо за замечание, но я был бы очень благодарен если бы вы подсказали что делать с примером дальше

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 18:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

[math]\mid \frac{\sin(x)}{2x-\sin(\ln(x))^\alpha }\mid \geq \mid \frac{sin^2(x)}{(2x+1)^\alpha }\mid \geq \mid \frac{1-cos(2x)}{2*(3x)^\alpha } \mid = \mid \frac{1}{2*(3x)^\alpha } -\frac{cos(2x)}{2*(3x)^\alpha } \mid[/math]
расходящийся(при альфа меньше 1) + сходящийся(по дирихле) = расходящийся
абсолютной сходимости нет

Автор:  grigoriew-grisha [ 22 дек 2013, 18:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

Вот это уже хорошо!

Автор:  AlexandrVMK [ 22 дек 2013, 20:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать интеграл на сходимость и абсолютную сходимость

[math]\frac{1}{(2x + sin(ln(x)))^\alpha }[/math] можно утверждать что функция непрерывно дифференцируема при [math]0<\alpha\leq 1[/math] ? сомнение в том, что в 0 она не определена. но интеграл от 2 до бесконечности, для признака дирихле достаточно того, что функция непрерывно дифференцируема на множестве от 2 до бесконечности?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/