Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследование сходимости несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 20 дек 2010, 22:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 дек 2010, 21:46
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Найти все неотрицательные значения а, при которых сходится интеграл

[math]\int\limits_0^{+\infty}\frac{\ln(1+x+x^a)}{\sqrt[3]{x}}\,dx[/math]

2. При каких а и b сходится интеграл [math]\int\limits_0^{1/2}\frac{\ln^a\dfrac{1}{x}}{\operatorname{tg}^bx}\,dx[/math]

3. Исследовать на условную и абсолютную сходимость при всех значениях а интегралы

[math]a)~\int\limits_2^{+\infty}\frac{\cos{x}}{(2x-\cos\ln{x})^a}\,dx;~~~~~b)~\int\limits_0^1{x^a\operatorname{arctg}x\cos\frac{1}{x}\,dx;~~~~~c)~\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(x+x^2)}{x^a}\,dx.[/math]

Буду рад любой помощи :friends:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование сходимости несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 24 дек 2010, 21:15 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. Интеграл расходится при всех неотрицательных значениях а (да и при отрицательных тоже). Дело в том. что в окрестности бесконечности подынтегральная функция f(x) оценивается снизу
[math]f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( {1 + x + x^a } \right)}}{{\sqrt[3]{x}}} > \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}[/math],
а интеграл от меньшей функции расходится.

2. Особая точка 0. В окрестности точки 0 справедлива эквивалентность [math]\operatorname{tg} x \sim x[/math]
Поэтому достаточно рассмотреть интеграл
[math]\int\limits_0^{1/2} {\frac{{\ln ^a \frac{1}{x}}}{{x^b }}dx}[/math]
Выполнив замену переменной [math]x=1/t[/math], придём к интегралу
[math]\int\limits_2^\infty {\frac{{\ln ^a t}}{{t^{2 - b} }}dt}[/math],
который. как известно, сходится при b<1 при любых значения a, и при b=1 если a <-2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование сходимости несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 24 дек 2010, 21:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 дек 2010, 21:46
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
2 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А разве точка ноль в первом интеграле не особая точка?И не надо разбить на два?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование сходимости несобственных интегралов
СообщениеДобавлено: 24 дек 2010, 22:04 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
3. Исследовать на условную и абсолютную сходимость при всех значениях а интегралы

[math]a)~\int\limits_2^{+\infty}\frac{\cos{x}}{(2x-\cos\ln{x})^a}\,dx;~~~~~b)~\int\limits_0^1{x^a\operatorname{arctg}x\cos\frac{1}{x}\,dx;~~~~~c)~\int\limits_1^{+\infty}\frac{\sin(x+x^2)}{x^a}\,dx.[/math]

a) Если [math]a \leqslant 0[/math], то интеграл расходится, т.к. подынтегральная функция не стремится к 0 при больших х. Пусть [math]a >0[/math]. Тогда

[math]\int\limits_2^\infty\frac{\cos{x}}{(2x-\cos\ln{x})^a}\,dx=\int\limits_2^\infty\frac{\cos{x}}{(2x)^a}{\!\left(1 - \frac{\cos\ln{x}}{2x}\right)\!}^{-a}\,dx=\int\limits_2^\infty\frac{\cos{x}}{(2x)^a}\!\left(1+O{\!\left(\frac{1}{x}\right)\!}\right)\!dx[/math]

Отсюда следует, что интеграл сходится условно при a>0 и абсолютно при a>1.
(Вспомните признак Дирихле сходимости несобственных интегралов).

б) Воспользуемся эквивалентностью в окрестности точки 0: [math]\operatorname{arctg} x \sim x[/math]. Получим интеграл

[math]\int\limits_0^1{x^{a+1}\cos\frac{1}{x}\,dx}=\{x=1/t\}=\int\limits_1^\infty\frac{\cos{t}}{t^{a+3}}\,dt[/math]

Про этот интеграл всё известно: сходится при a+3>0, сходится абсолютно при a+3>1.

в) Выполним замену переменной [math]x^2+x=t[/math]. Тогда [math]x=\sqrt{t+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}[/math]

Интеграл перепишется в виде [math]\int\limits_2^\infty \frac{\sin{t}}{\left(\sqrt{t+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\right)^a}\frac{dt}{2\sqrt{t+\frac{1}{4}}}[/math]

Дальше надо использовать признак Дирихле.
Интеграл сходится при a>-1, и абсолютно сходится при a>1.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Первый признак сходимости несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

vichost

0

62

14 май 2023, 16:25

Первый признак сходимости несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

vichost

3

130

14 май 2023, 16:31

Первый признак сходимости несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

vichost

0

118

14 май 2023, 16:24

Первый признак сходимости несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

vichost

0

74

14 май 2023, 16:21

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

dmitriy271

1

282

25 июн 2016, 18:21

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

0

308

01 апр 2015, 18:19

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

6

233

04 июн 2022, 02:25

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

5

221

10 май 2022, 00:48

Сходимость несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

351w

7

250

17 май 2019, 17:40

Интегрирование несобственных интегралов

в форуме Интегральное исчисление

overkill21

2

266

08 май 2014, 01:33


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved