Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 3 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Alexsandr |
|
||
Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях альфа и бета 1) [math]\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{\ln(x^2+1)-2\ln{x}}{\operatorname{arctg}^{\beta}x}\,dx[/math] 2) [math]\int\limits_{0}^{1}\frac{x^{\alpha}}{e^x-1}\sin\frac{1}{x}\,dx[/math] Исследовать на абсолютную и условную сходимость несобственный интеграл: [math]\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}-\sin{x}}\,dx[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
|
Alexsandr писал(а): Помогите с интегралами, не получается Исследовать на абсолютную и условную сходимость несобственный интеграл: [math]\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\sin{x}}{\sqrt{x}-\sin{x}}\,dx[/math] См. первый том Кудрявцева на 536 стр. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
||
1. Здесь две особые точки: 0 и [math]\infty[/math]. Рассмотрим окрестность точки [math]\infty[/math]. Подынтегральная функция[math]f\left( x \right)[/math] эквивалентна
[math]f\left( x \right) \sim \left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{ - \beta } \ln \left( {1 + \frac{1}{{x^2 }}} \right) \sim \left( {\frac{\pi }{2}} \right)^{ - \beta } \frac{1}{{x^2 }}[/math] Таким образом, интеграл сходится абсолютно в окрестности точки [math]\infty[/math] при любых [math]\beta[/math] Рассмотрим окрестность точки 0. Подынтегральная функция[math]f\left( x \right)[/math] эквивалентна [math]f\left( x \right) \sim - \frac{{2\ln x}}{{x^\beta }}[/math] Поэтому интеграл сходится при [math]\beta < 1[/math] 2. Здесь выполним замену переменной [math]x = \frac{1}{t}[/math]. Получим интеграл [math]\int\limits_1^\infty {\frac{{\sin t}}{{t^{\alpha + 2} }}\frac{{dt}}{{\left( {e^{1/t} - 1} \right)}}}[/math] Рассмотрим окрестность точки [math]\infty[/math]. Подынтегральная функция[math]f\left( x \right)[/math] представим в виде [math]f\left( t \right) = \frac{{\sin t}}{{t^{\alpha + 1} }}\left( {1 - \frac{1}{{2t}} + O\left( {\frac{1}{{t^2 }}} \right)}\right)[/math] Следовательно, интеграл сходится если [math]\alpha > - 1[/math] (см. материал, присланный Вам Alexdemath). Абсолютно сходится при [math]\alpha > 0[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 3 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 28 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |