Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 10 ноя 2013, 22:36 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 ноя 2013, 22:34
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойной интеграл:

Вложения:
.jpg
.jpg [ 19.74 Кб | Просмотров: 80 ]
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 12:10 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Окружность [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] целиком лежит внутри большей окружности [math]x^2+(y-3)^2=9[/math]

Уравнение окружности [math]x^2+(y-1)^2=1[/math] в ПСК имееет вид [math]x=rcos(\varphi); y=rsin(\varphi); r=\sqrt{x^2+y^2}; r^2+2rsin(\varphi)+1=1;=> r=2sin(\varphi);[/math]

[math]\int_0^{2\pi}d \varphi \int_0^{2sin(\varphi)}r^8 r dr=\int_0^{2\pi}d \varphi \frac{[2sin(\varphi)]^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{(e^{i \varphi}-e^{-i \varphi})^{10}}{10}=(-1)^5 \int_0^{2\pi}d \varphi \frac{ \sum_{k=0;}^{10} e^{i \varphi (2k-10)}C_{10}^k (-1)^k }{10}=[/math]

[math]2 \pi C_{10}^5=2 \pi \frac{10!}{5!5!10}=2 \pi \frac{6*7*8*9*10}{5*4*3*2*10}= \pi \frac{7*8*9}{10}= 50,4 \pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 13:20 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 13:36 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.

1). То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности, а нужно вычесть из большей окружности меньшую в соответствии с вашей подстановкой пределов для радиуса r.
2). Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз.
Вывод: хотя решение и содержит две существенных ошибки, но может быть использовано в качестве рыбы для получения правильного, что и можно рекомендовать топикстартеру в качестве самостоятельного упражнения для получения нужного ответа.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 14:11 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
То-есть я неправильно определил область как внутренность меньшей окружности
Да. Областью будет часть большей окружности с вырезанной меньшей.

Alexander N писал(а):
Насчет пределов по углу тоже прокол - нужно смотреть измениение угла фи от нуля до пи, поскольку при фи больше пи мы просто проходим по контуру во второй раз.
Да. И, как я уже написала, достаточно интегрировать по половине области.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 22:08 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
10 ноя 2013, 22:34
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Область интегрирования и подынтегральная функция симметричны относительно оси [math]\varphi=\frac{\pi}{2}[/math], поэтому достаточно вычислить интеграл
[math]\int_0^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{2\sin{\varphi}}^{6\sin{\varphi}}r^8\cdot r\,dr[/math] и результат умножить на 2.


на скорую руку накидал в онлайн калькуляторе. похожее что-то?
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Преобразовать к полярным координатам и затем вычислить двойн
СообщениеДобавлено: 11 ноя 2013, 22:15 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Мне онлайн-калькулятор выдал это:
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Переходя к полярным координатам вычислить

в форуме Интегральное исчисление

mrShelby

0

483

13 дек 2017, 20:45

Переходя к полярным координатам,вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Linc

0

122

17 ноя 2021, 19:02

Переходя к полярным координатам вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Pybanok

1

782

19 апр 2015, 12:32

Вычислить интеграл перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

8

873

23 апр 2015, 15:37

Вычислить интеграл перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Bilbo2015

7

837

01 июн 2015, 17:36

Переходя к полярным координатам вычислить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Linc

1

165

18 ноя 2021, 19:08

Вычислить двойной интеграл, переходя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

Crow

8

1194

10 июл 2017, 18:50

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

drashe

26

1978

22 дек 2015, 09:48

Вычислить двойной интеграл, перейдя к полярным координатам

в форуме Интегральное исчисление

olga1

3

731

25 дек 2017, 21:27

Переходя к полярным координатам, вычислить двойной интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Terrus

4

475

06 дек 2018, 18:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved