Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 8 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| lexus666 |
|
|
|
Есть у меня интеграл (a - произволное число в том числе и ноль): [math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx[/math] я хочу его оценить (именно оценить, а не посчитать). Пробовал так: [math]\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{\mid x^4-a^4\mid}dx=\int\limits_{-1}^1\frac{1}{\mid x^2-a^2\mid}dx[/math] ну а последний интеграл либо расходится либо не существует (в зависимости от a). Подскажите как можно его оценить? Спасибо. |
||
| Вернуться к началу | ||
| andrei |
|
|
|
Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| lexus666 |
|
|
|
Спасибо, что откликнулись
andrei писал(а): Может попробовать разложить подинтегральную функцию в ряд? при произвольных a не понятно на каком члене обрывать ряд, к сожалению. Поэтому и возник изначальный вопрос. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
Чего вы паритесь?
[math]1). a \ne 0; => x^4+a^4 \geqslant a^4; => \frac{1}{x^4+a^4}\leqslant \frac{1}{a^4}; => \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx \leqslant \int_{-1}^1 \frac{x^2+a^2}{a^4}dx = \frac{2(\frac{1}{3}+a^2)}{a^4};[/math] [math]2. a=0; => \int_{-1}^1 \frac{1}{x^2}dx = \int_{-1}^0 \frac{1}{x^2}dx+\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx=\int_0^1 \frac{1}{x^2}dx-\int_1^0 \frac{1}{x^2}dx=2 \int_0^1 \frac{1}{x^2}dx[/math] Интеграл расходится в нуле |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: lexus666 |
||
| andrei |
|
|
|
Производим замену [math]x=atg(t)[/math] при условии [math]a \ne 0[/math].
Так как [math]cos^{4}t+sin^{4}t=1-\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=(cos^{2}t-sin^{2}t)^{2}+\frac{ sin^{2}(2t) }{ 2 }=\frac{ 1 }{ 2 }+\frac{ cos^{2}(2t) }{ 2 }[/math] то [math]\frac{ 1 }{ 2 }<cos^{4}t+sin^{4}t<1[/math] откуда [math]1<\frac{ 1 }{cos^{4}t+sin^{4}t }<2[/math] Откуда и находим оценку. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю andrei "Спасибо" сказали: lexus666 |
||
| lexus666 |
|
|
|
Спасибо товарищи, за интересные варианты
.Я все же сделал по тупому, но наверняка: [math]\int\limits_{a}^{b}f(x)dx<f_{max}(b-a)\to\int\limits_{-1}^1\frac{x^2+a^2}{x^4+a^4}dx<\frac{1}{a^2(\sqrt{2}-1)}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| mad_math |
|
|
|
lexus666
|
||
| Вернуться к началу | ||
| lexus666 |
|
|
|
mad_math
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 8 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Оценка интеграла
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
221 |
05 дек 2018, 11:09 |
|
|
Оценка модуля интеграла y=5sin(x) на отрезке
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
1229 |
18 ноя 2016, 12:18 |
|
| Оценка асимптотики | 1 |
129 |
08 авг 2021, 15:05 |
|
| Оценка дисперсии | 0 |
401 |
05 авг 2016, 06:55 |
|
|
Оценка работы
в форуме Теория вероятностей |
17 |
615 |
19 июн 2020, 19:40 |
|
| Состоятельная оценка | 5 |
482 |
05 июн 2017, 17:16 |
|
|
Оценка вероятности
в форуме Теория вероятностей |
1 |
211 |
20 май 2018, 11:41 |
|
|
Оценка синусов
в форуме Ряды |
3 |
752 |
20 окт 2019, 11:54 |
|
|
Оценка бизнеса
в форуме Экономика и Финансы |
0 |
239 |
26 окт 2016, 19:48 |
|
| Несмещенная оценка | 3 |
586 |
12 ноя 2015, 00:45 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |