Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 17:22 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Есть такая задачка: найти объем тела [math]$$T$$[/math], ограниченного поверхностями: [math]$$ z=4-x^2-y^2, 9z=-5 \cdot (x^2+y^2), y=0 ( y \leqslant 0) $$[/math]

Мои мысли таковы:

Тело [math]$$T$$[/math] ограничено параболоидами: [math]$$ z=4-x^2-y^2, z= - \frac{5}{9} \cdot (x^2+y^2)$$[/math] и плоскостью [math]$$y=0$$[/math] при [math]$$y \leqslant 0$$[/math].

Рисунок получился вот такой:
Изображение


Верен ли он?

Перейдем к цилиндрическим координатам: [math]$z=4-r^2, z=- \frac{5}{9} \cdot r^2$[/math]

Тогда: [math]$$V = \iiint\limits_{T} r dr d \varphi dz = \iint\limits_{D} r dr d \varphi \int\limits_{- \frac{5}{9} \cdot r^2}^{4-r^2} dz = \iint\limits_{D} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr d \varphi$$[/math]

Найдем проекцию тела [math]$$T$$[/math] на плоскость [math]$$xOy$$[/math] - область [math]$$D$$[/math]:

[math]$$\left\{\begin{matrix} z=4-x^2-y^2\\ 9z=-5 \cdot (x^2+y^2)\end{matrix}\right. \Rightarrow 4-z = - \frac{9}{5} z \Rightarrow z =-5$$[/math]

Данные параболоиды пересекаются в плоскости [math]$$z=-5$$[/math] по окружности [math]$$x^2+y^2=9$$[/math]. Следовательно, область [math]$$D$$[/math] это половина круга [math]$$x^2+y^2 \leqslant 9$$[/math] [math]$$(y \leqslant 0)$$[/math], в полярных координатах: [math]$$0 \leqslant r \leqslant 3, \pi \leqslant \varphi \leqslant 2 \pi$$[/math]

Область D:
Изображение


Тогда, искомый объем: [math]$$V = \int\limits_{\pi}^{2 \pi} d \varphi \int\limits_{0}^{3} (4r- \frac{4}{9} r^3) dr = ... = 9 \pi $$[/math]


Если кому не сложно - посмотрите, пожалуйста, мое решение. Может где допустил неточности/ошибки? Заранее спасибо за помощь!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 17:46 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По-моему мнению, все верно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 21:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 21:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 22:02 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Кстати, мне тут на соседнем форуме подсказали, что обычно ось [math]Oy[/math] направляют в противоположную сторону. Но это же не будет ошибкой, как Вы считаете?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 22:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я думаю имели в виду не противоположное направление оси [math]Oy[/math], т.к. если ее направить в другую сторону, то получите левую систему координат, а поворот плоскости [math]xOy[/math] на 90 градусов, против часовой стрелки. Тогда получится "обычный" чертеж.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 22:33 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Цитата:
Обычно ось OY направляют вправо, т.е. правая система координат. Вы изобразили в левой системе координат.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 22:52 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да они правы,а я ошибся, у Вас изображено в левой системе координат.
Но построенение в левой системе координат не является ошибкой. Просто "обычно" строят в правой.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела
СообщениеДобавлено: 13 окт 2013, 23:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
erjoma
Понял, спасибо за разъяснение! :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Объем тела и момент инерции однородного тела. Интегралы

в форуме Интегральное исчисление

barabshka

1

142

30 май 2022, 13:56

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

SkiFach

4

278

22 май 2019, 19:18

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

kristalliks

6

263

22 июн 2022, 00:08

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

irina11

1

241

19 июн 2018, 19:15

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

cincinat

0

179

08 дек 2016, 09:03

Объём тела

в форуме Интегральное исчисление

atamant98

1

229

16 дек 2016, 01:36

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

23052132

3

272

16 мар 2017, 13:06

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

3

334

01 апр 2015, 18:17

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

luci616

2

242

14 окт 2020, 19:37

Объем тела

в форуме Интегральное исчисление

Andrey82

23

516

09 сен 2020, 08:29


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved