Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 23:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 22:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
Данный интеграл надо проверить на сходимость и абсолютную сходимость. Я плохо разбираюсь в этой теме, но с нескольких попыток все же набросал некоторые мысли. Рассмотрел на абсолютную сходимость и получил 7 разных случаев(в зависимости от а и b) . Расскажите пожалуйста хотя бы ход мысли для рассмотрения на сходимость, потому что я не знаю как это сделать. Спасибо и простите за dx , не поместился

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 29 сен 2013, 23:54 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если мне не изменяет память, то это очень напоминает определение гамма-функции. Пошерстите поисковиком гамма - функцию.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 01:16 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 22:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Почитал про гамма функцию. Вроде не то . Мне предлагали через формулы Эйлера попробовать, но к сожалению так нельзя. :(

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 02:01 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 фев 2011, 23:53
Сообщений: 1889
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 276
Спасибо получено:
981 раз в 775 сообщениях
Очков репутации: 229

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int\limits_1^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} = \int\limits_1^a {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} + \int\limits_a^\infty {\frac{{\sin \pi x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^\alpha }{x^\beta }}}dx} {\rm{ }}[/math]
Почитайте Г.М. Фихтенголца Курс дифференциального и нтегрального исчисления, том 2 стр 564 (признак Дирихле) , стр 584 (признаки Коши)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 11:37 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
161 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Для абсолютной сходимости неплохо промажорировать подынтегральное выражение
[math]\frac{sin(\pi x)}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}< \frac{1}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}[/math]
Тогда задача становится вполне понятной.
Сходимость в 1 будет по-моему в любом случае при [math]\alpha < 1[/math]
Абсолютная сходимость на [math]\infty[/math] будет, если [math]\alpha + \beta > 1[/math]
Случай условной сходимости на [math]\infty[/math] будет видимо, если [math]0< \alpha + \beta < 1[/math]
Случай [math]\alpha + \beta < 0[/math] на [math]\infty[/math] будет видимо соответствовать расходимости, поскольку по интегральному признаку сходимости для рядов можно получить условие, по которому n член ряда будет стремится не к нулю, а к бесконечности.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
Alexdemath, zaplot
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 11:41 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. В окрестности единицы имеем

[math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim-\frac{\pi}{(x-1)^{\alpha-1}}[/math]

откуда интеграл в окрестности единицы сходится при [math]\alpha<2[/math] и расходится при [math]\alpha\geqslant2[/math].

2. В окрестности бесконечности имеем

[math]\frac{\sin\pi x}{(x-1)^{\alpha}x^{\beta}}\sim\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math]

откуда следует абсолютная сходимость при [math]\alpha+\beta>1[/math]. При [math]0<\alpha+\beta\leqslant1[/math] интеграл сходится условно (сходимость устанавливается по признаку Дирихле, а расходимость интеграла от модуля с помощью стандартного приёма с неравенством [math]|\sin\pi x|\geqslant\sin^2\pi x=\frac12-\frac12\cos2\pi x[/math]). Наконец, при [math]\alpha+\beta\leqslant0[/math] интеграл расходится по критерию Коши.

Итого: сходится абсолютно при [math]\alpha<2,\alpha+\beta>1[/math], сходится условно [math]\alpha<2, 0<\alpha+\beta\leqslant1[/math], расходится при всех остальных.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, zaplot
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 18:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 22:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое :) Почитаю про Абеля и Дирихле и критерий Коши.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 18:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 22:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Единственное, что при [math]0 < \alpha + \beta < 1[/math] не подходит под признак Дирихле [math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0


Последний раз редактировалось zaplot 30 сен 2013, 18:35, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 18:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
29 сен 2013, 22:47
Сообщений: 6
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sqrt{a}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость интеграла
СообщениеДобавлено: 30 сен 2013, 18:48 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
zaplot писал(а):
[math]\boldsymbol{G} ' = \frac{ x^{1- \alpha - \beta} }{ 1- \alpha - \beta }[/math] что явно > 0


Вы выписали интеграл от [math]x^{-(\alpha+\beta)}[/math], а не производную.
Кроме того, для знакопеременных функций признаки сравнения не работают (работают только для исследования на абсолютную сходимость), поэтому по Дирихле нужно исследовать исходный интеграл, а не [math]\frac{\sin\pi x}{x^{\alpha+\beta}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 11 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследование интеграла на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Periel

5

363

13 мар 2017, 23:25

Исследование интеграла на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

mac321

2

297

08 авг 2018, 09:50

Исследование несобственного интеграла на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Talesard

5

277

22 ноя 2019, 12:38

Исследование интеграла на равномерную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Polina1254

3

446

22 ноя 2017, 22:54

Исследование на сходимость

в форуме Интегральное исчисление

chel_s_gori

3

291

27 апр 2016, 16:26

Исследование на сходимость

в форуме Ряды

Straik

2

268

16 июн 2017, 16:48

Исследование на сходимость

в форуме Функциональный анализ, Топология и Дифференциальная геометрия

zxltrxn

0

269

08 июн 2020, 08:06

Исследование на сходимость ряда

в форуме Ряды

Sever

3

361

06 май 2018, 21:26

Исследование ряда на сходимость

в форуме Ряды

zdanek

4

502

09 июл 2018, 11:52

Исследование на сходимость ряда

в форуме Ряды

alesya77

1

267

04 фев 2017, 12:12


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved