Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 7 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| studak |
|
|
![]() "В лоб" не колется,расходиться не должен,подскажите хотя бы идею решения |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
[math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx = i\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx - \int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx[/math]
[math]\frac{d}{dk}\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx = \int_0^\infty\frac{sinkx}{x}dx = \int_0^\infty\frac{sint}{t}dt =I[/math] Посмотрите чему равен этот стандартный интеграл - кажется I=1, отсюда [math]\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx =kI[/math] [math]\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx =-[\frac{1}{x}(sinkx-ksinx)]_0^\infty+k\int_0^\infty \frac{coskx-cosx}{x}dx=[/math] [math]0 + k[\int_0^\infty \frac{cost}{t}dt - \int_0^\infty \frac{cosx}{x}dx]=0[/math] Окончательный ответ [math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx=kI[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали: Alexdemath, studak |
||
| studak |
|
|
|
[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ
[math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем) |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
studak писал(а): [math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ [math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем) Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли? Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу? А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0 \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Alexander N писал(а): Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли? Интеграл [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] расходится, так что разность [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos t}t\,dt-\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] вообще говоря, не определена. Раскрытие неопределённости как раз и происходит с помощью формулы Фруллани. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Human |
|
|
|
Alexander N писал(а): Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу? А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0%20\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math] Это она и есть, для её выполнения требуется непрерывность функции [math]f(x)[/math] на [math][0;+\infty)[/math] и сходимость интеграла [math]\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}x\,dx[/math] для каждого [math]\varepsilon>0[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Alexander N |
|
|
|
Эх Для изучения математики сейчас полная лафа - в интернете все есть, не то что раньше
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... B%E0%ED%E8 |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 7 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
296 |
29 ноя 2017, 19:34 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
5 |
305 |
26 окт 2017, 16:20 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
217 |
06 май 2015, 14:54 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
7 |
749 |
24 июн 2015, 08:42 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
144 |
16 май 2020, 14:11 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
544 |
10 май 2015, 15:07 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
248 |
27 дек 2020, 22:56 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
133 |
27 дек 2020, 22:43 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
248 |
24 окт 2015, 11:54 |
|
|
Несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
12 |
365 |
27 дек 2020, 22:49 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |