Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 13 сен 2013, 23:32 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 сен 2013, 23:19
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение
"В лоб" не колется,расходиться не должен,подскажите хотя бы идею решения

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 14 сен 2013, 13:46 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx = i\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx - \int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx[/math]

[math]\frac{d}{dk}\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx = \int_0^\infty\frac{sinkx}{x}dx = \int_0^\infty\frac{sint}{t}dt =I[/math]

Посмотрите чему равен этот стандартный интеграл - кажется I=1, отсюда [math]\int_0^\infty\frac{2sin^2(\frac{kx}{2})}{x^2}dx =kI[/math]

[math]\int_0^\infty \frac{sinkx-ksinx}{x^2}dx =-[\frac{1}{x}(sinkx-ksinx)]_0^\infty+k\int_0^\infty \frac{coskx-cosx}{x}dx=[/math]

[math]0 + k[\int_0^\infty \frac{cost}{t}dt - \int_0^\infty \frac{cosx}{x}dx]=0[/math]

Окончательный ответ [math]\int_0^\infty \frac{e^{ikx}-1-iksinx}{x^2}dx=kI[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexander N "Спасибо" сказали:
Alexdemath, studak
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 19 сен 2013, 21:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 сен 2013, 23:19
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ

[math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 19 сен 2013, 21:55 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
studak писал(а):
[math]I= \frac{\pi}{2}[/math] -интеграл Дирихле.Косинусы в конце считаются по 2й теореме Фруллани, окончательный ответ

[math]- \frac{\pi k}{2}-ik\ln{k}[/math].Все ок в общем)

Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли?
Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу?
А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0 \frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 20 сен 2013, 14:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4091
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Так я с косинусами в конце лопухнулся - неакуратно преобразовал что ли?


Интеграл [math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math] расходится, так что разность

[math]\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos t}t\,dt-\int\limits_0^{\infty}\frac{\cos x}x\,dx[/math]

вообще говоря, не определена. Раскрытие неопределённости как раз и происходит с помощью формулы Фруллани.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 20 сен 2013, 14:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4091
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1807 раз в 1504 сообщениях
Очков репутации: 377

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexander N писал(а):
Кстати про вторую теорему Фруллани никогда не слышал. Ссылочку не дадите на литературу?
А формула Фруллани - помню - зверски крутой интеграл [math]\int^{\infty}_0%20\frac{f(ax)-f(bx)}{x}dx=f(0)ln[\frac{b}{a}][/math]


Это она и есть, для её выполнения требуется непрерывность функции [math]f(x)[/math] на [math][0;+\infty)[/math] и сходимость интеграла [math]\int\limits_{\varepsilon}^{\infty}\frac{f(x)}x\,dx[/math] для каждого [math]\varepsilon>0[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 20 сен 2013, 23:07 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
11 сен 2013, 13:08
Сообщений: 364
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
160 раз в 137 сообщениях
Очков репутации: 35

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эх Для изучения математики сейчас полная лафа - в интернете все есть, не то что раньше
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0% ... B%E0%ED%E8

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

AMAM55

6

292

31 май 2015, 12:07

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

evil_genius

0

215

08 авг 2014, 14:15

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

santdeonis

2

105

17 июн 2018, 18:00

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Genius

1

211

05 мар 2015, 00:29

Несобственный интеграл)

в форуме Интегральное исчисление

mozhik

2

308

09 апр 2012, 23:26

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

morozoff

4

101

09 ноя 2019, 10:22

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

scalpellum

5

365

11 апр 2012, 14:21

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Andrei93

23

1125

12 апр 2012, 21:15

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

crazyFlower

2

290

04 сен 2013, 20:56

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Do_you_watch_co

3

69

27 дек 2019, 00:32


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: suhrob_884 и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2020 MathHelpPlanet.com. All rights reserved