Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
СообщениеДобавлено: 14 дек 2010, 13:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
22 апр 2010, 20:28
Сообщений: 14
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нужно вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

[math]\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\ln(1+x^2+y^2)\,dy[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты
СообщениеДобавлено: 15 дек 2010, 17:29 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Область интегрирования представляет собой четверть единичной окружности в первом квадранте с центром в начале координат, поэтому при переходе в полярные координаты радиус [math]\rho[/math] будет принимать значения от [math]0[/math] до [math]1[/math], а угол [math]\varphi[/math] - от [math]0[/math] до [math]\pi/2[/math]

[math]{\int\limits_0^1{dx}\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}\ln(1+x^2+y^2)\,dy=\left\{\begin{gathered}x=\rho\cos\varphi,\hfill\\y=\rho\sin\varphi,\hfill\\dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi\hfill\\\end{gathered}\right\}=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^1\rho\ln(1+\rho^2)\,d\rho=}[/math]

[math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\left.{\frac{\rho^2}{2}\ln(1+\rho^2)}\right|_0^1-\int\limits_0^1\frac{\rho^3}{1+\rho^2}\,d\rho\right]=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\int\limits_0^1\frac{\rho(1+\rho^2)-\rho}{1+\rho^2}\,d\rho\right]=}[/math]

[math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\int\limits_0^1\!\left(\rho-\frac{\rho}{1+\rho^2}\right)\!d\rho\right]=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\left.{\left(\frac{\rho^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+\rho^2)\right)}\right|_0^1\right]=}[/math]

[math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\left(\frac{1}{2}-\frac{\ln2}{2}\right)\right]=\frac{\pi}{2}\!\left(\ln2-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{4}(2\ln2-1)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

locaqok

1

170

20 янв 2022, 18:19

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

KaiJu

1

187

06 июн 2020, 11:15

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

perenosenko

2

502

06 ноя 2018, 22:46

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

avataraang

13

1972

12 июн 2014, 00:34

Вычислить двойной интеграл используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

mrch

2

1509

19 июн 2014, 20:57

Вычислить двойной интеграл используя полярные координаты онл

в форуме Интегральное исчисление

Ilonka66

1

1552

26 мар 2015, 18:09

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

volkodav2014

8

1213

04 ноя 2014, 16:56

Вычислить двойной интеграл используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

AlbinaP

1

170

18 мар 2020, 14:28

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

Showtime220

2

1003

02 апр 2018, 00:29

Вычислить двойной интеграл, используя полярные координаты

в форуме Интегральное исчисление

andrey31rus

5

1345

20 дек 2014, 17:18


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved