Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
Kl-l |
|
||
[math]\int\limits_{0}^{1}dx\int\limits_{0}^{\sqrt{1-x^2}}\ln(1+x^2+y^2)\,dy[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
Alexdemath |
|
||
Область интегрирования представляет собой четверть единичной окружности в первом квадранте с центром в начале координат, поэтому при переходе в полярные координаты радиус [math]\rho[/math] будет принимать значения от [math]0[/math] до [math]1[/math], а угол [math]\varphi[/math] - от [math]0[/math] до [math]\pi/2[/math]
[math]{\int\limits_0^1{dx}\int\limits_0^{\sqrt{1-x^2}}\ln(1+x^2+y^2)\,dy=\left\{\begin{gathered}x=\rho\cos\varphi,\hfill\\y=\rho\sin\varphi,\hfill\\dx\,dy=\rho\,d\rho\,d\varphi\hfill\\\end{gathered}\right\}=\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi\int\limits_0^1\rho\ln(1+\rho^2)\,d\rho=}[/math] [math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\left.{\frac{\rho^2}{2}\ln(1+\rho^2)}\right|_0^1-\int\limits_0^1\frac{\rho^3}{1+\rho^2}\,d\rho\right]=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\int\limits_0^1\frac{\rho(1+\rho^2)-\rho}{1+\rho^2}\,d\rho\right]=}[/math] [math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\int\limits_0^1\!\left(\rho-\frac{\rho}{1+\rho^2}\right)\!d\rho\right]=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\left.{\left(\frac{\rho^2}{2}-\frac{1}{2}\ln(1+\rho^2)\right)}\right|_0^1\right]=}[/math] [math]{=\frac{\pi}{2}\!\left[\frac{\ln2}{2}-\left(\frac{1}{2}-\frac{\ln2}{2}\right)\right]=\frac{\pi}{2}\!\left(\ln2-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{4}(2\ln2-1)}[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 2 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |