Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 23 июн 2013, 23:47 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 май 2013, 13:06
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]{S_1}; {x^2} + {y^2} + {z^2} = 1[/math] и [math]{S_2}; \sqrt {3{x^2} + 3{y^2}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 24 июн 2013, 02:30 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Данное тело ограничено "снизу" конусом [math]z=\sqrt{3(x^2+y^2)}[/math], а "сверху" сферой [math]x^2+y^2+z^2=1[/math]. Сфера и конус пересекаются по кривой [math]x^2+y^2=\frac{1}{4}[/math] (Проверьте, пожалуйста).

Изображение


Поэтому объём равен

[math]|V|=\iint_D(\sqrt{1-(x^2+y^2)}-\sqrt{3(x^2+y^2)})dxdy[/math]

где [math]D[/math] - круг [math]x^2+y^2\leq\frac{1}{4}[/math]

Для вычисления этого интеграла перейдем к полярным координатам.

[math]x=r\cos\varphi[/math]
[math]y=r\sin\varphi[/math]
[math]dxdy= rdrd\varphi[/math]

[math]x^2+y^2=r^2[/math]

Область [math]D[/math] имеет вид [math]\{(r,\varphi) |\, r\in[0,\frac{1}{2}], \;\varphi \in[0,2\pi]\}[/math] и получаем

[math]|V|=\int_0^{2\pi}\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=[/math]

[math]2\pi\int_0^{\frac{1}{2}}(\sqrt{1-r^2} -\sqrt {3r^2})rdrd\varphi=...= \frac{1}{3}(2-\sqrt 3)\pi[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
mad_math, olga_budilova, ZMEJ
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 24 июн 2013, 11:23 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
29 май 2013, 13:06
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое! Только у меня после подсчёта интеграла получилось [math]pi|3(2-sqrt(3)|2)[/math] / Во втором члене в скобках 1/2 вылезла

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Объем тела, ограниченного поверхностями
СообщениеДобавлено: 24 июн 2013, 15:53 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кошмар...Вы меня, бедняжку, заставляете вычислять интегралы... :angel:
[math]|V|=2\pi\Big(-\frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}-\frac{\sqrt 3}{3}r^3\Big)\Big|_0^{\frac{1}{2}}=[/math]

[math]-\frac{2\pi}{3}\Big((1-\frac{1}{4})^{\frac{3}{2}}+\sqrt 3(\frac{1}{2})^3-1+0\Big)=[/math]

[math]-\frac{2\pi}{3}(\frac{3\sqrt 3}{8}+\frac{\sqrt 3}{8}-1\Big)=-\frac{2\pi}{3}(\frac{\sqrt 3}{2}-1)=\frac{\pi}{3}(2-\sqrt 3)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
ZMEJ
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Gerren

2

208

06 июн 2019, 20:30

Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

DonilZ

45

1740

29 июн 2016, 23:48

Объём тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Rollick

12

420

19 апр 2021, 14:48

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

apdodog

3

386

29 май 2015, 08:17

Объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ariukeera

1

342

23 май 2017, 21:32

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Y1306

1

254

12 май 2017, 17:49

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

3

274

02 окт 2017, 15:02

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Y1306

1

298

10 май 2017, 21:18

Объем тела ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

nata583

1

487

25 май 2017, 13:06

Найти объем тела, ограниченного поверхностями

в форуме Интегральное исчисление

Garcia09

3

479

15 окт 2015, 00:55


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved