Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
СообщениеДобавлено: 21 июн 2013, 14:52 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 июн 2013, 14:44
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
СообщениеДобавлено: 21 июн 2013, 18:14 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Данная кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math] и пересекает ось [math]0x[/math] в двух точках: [math]a=0[/math] и [math]b=1[/math]. Поэтому график представляет собой петлю при [math]x\in[0,1][/math]. Следовательно, площадь ограниченна петлей равна

[math]2\int_0^1\sqrt x|x-1|dx=2\int_0^1\sqrt x(1-x)dx=...=\frac{8}{15}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
СообщениеДобавлено: 21 июн 2013, 23:44 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пример б). Он несложный, только вычисления большие. Если выразить из первого параметрического выражения [math]sin(t)[/math] и подставить во второе, то получим:

[math]y=\pm \frac{1}{64}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}[/math]

График этой функции в пределах от [math]6\sqrt{3}[/math] до 16 таков:

Изображение

Площадь будет равна:

[math]S=\frac{2}{64}\int \limits_{6\sqrt{3}}^{16}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}\, dx = \pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0.54352[/math]

Но, конечно, через параметрические формы найти площадь намного проще. Я же получил верный ответ и это облегчает задание.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
СообщениеДобавлено: 22 июн 2013, 03:06 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну что ж, решим и последнюю задачу. Похожий пример и формула здесь.
Данная кривая - кардиоида, Вы наверное не раз видели ее в чашке чая или кофе.

Изображение


Вычислим площадь этого "сердца"

[math]|A|=\frac{1}{2}}\int_0^{2\pi}(4(1-\cos\varphi))^2d\varphi =...= 24\pi[/math]

Изображение


P.S. Если в примере б) (Avgust, спасибо!) хотим вычислить площадь по формуле для параметрических кривых

[math]|A|=\int_{\alpha}^{\beta} y(t)x'(t)dt[/math]
,
томожем сделать так:
Для начала заметим, что так как [math]\sin[/math] и [math]\cos[/math] - периодические функции, то достаточно рассмотреть данную кривую на отрезке [math][0,2\pi][/math], а поскольку кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math], то достаточно вычислить площадь части расположенной над осью [math]0x[/math], т.е. при [math]t\in[0,\pi][/math], а результат умножить на 2.

Изображение

Находим значение [math]t\in[0,\pi][/math], при которым данная кривая и прямая пересекаются: [math]t=\frac{\pi}{6}[/math]

и получаем

[math]|A|=2\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^3t\cdot 3\cdot 16\cos^2t\sin t\,dt=96\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^4t\cos^2t\,dt=...=\pi-\frac{3}{2}\sqrt 3[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math
 Заголовок сообщения: Re: Вычислить площади фигур, ограниченные линиями
СообщениеДобавлено: 22 июн 2013, 14:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
21 июн 2013, 14:44
Сообщений: 7
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
спасибо большое ребята

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Вычислить площади фигур ограниченных линиями

в форуме Maple

closeyoureyes

2

655

03 сен 2015, 15:52

Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями

в форуме Интегральное исчисление

smith174

1

208

13 июн 2020, 17:45

Площадь фигур ограниченные линиями

в форуме Интегральное исчисление

Uglycat

1

258

10 ноя 2016, 23:30

Площади фигур, ограниченных линиями

в форуме Интегральное исчисление

CerbeR-Lex

18

1156

23 мар 2015, 20:24

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями

в форуме Интегральное исчисление

MashaKirpichnikova

1

299

01 апр 2015, 18:15

Вычислите площади фигур, ограниченных линиями

в форуме Интегральное исчисление

liliya347347

1

124

18 апр 2024, 14:09

Вычислить площадь фигуры ограниченные линиями

в форуме Интегральное исчисление

draconmag

2

249

25 янв 2018, 15:54

Вычислить двойной интеграл по области D ограниченные линиями

в форуме Интегральное исчисление

student15

1

841

19 дек 2016, 21:11

Вычислить площади фигур, ограниченых графиками функций

в форуме Интегральное исчисление

svatoha333

2

173

09 июн 2020, 10:33

Двойные интегралы по областям, ограниченные линиями

в форуме Интегральное исчисление

aleksei13

3

258

24 дек 2021, 08:36


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved