Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| on746 |
|
|
| Вернуться к началу | ||
| SzaryWilk |
|
|
|
Данная кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math] и пересекает ось [math]0x[/math] в двух точках: [math]a=0[/math] и [math]b=1[/math]. Поэтому график представляет собой петлю при [math]x\in[0,1][/math]. Следовательно, площадь ограниченна петлей равна
[math]2\int_0^1\sqrt x|x-1|dx=2\int_0^1\sqrt x(1-x)dx=...=\frac{8}{15}[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
Пример б). Он несложный, только вычисления большие. Если выразить из первого параметрического выражения [math]sin(t)[/math] и подставить во второе, то получим:
[math]y=\pm \frac{1}{64}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}[/math] График этой функции в пределах от [math]6\sqrt{3}[/math] до 16 таков: ![]() Площадь будет равна: [math]S=\frac{2}{64}\int \limits_{6\sqrt{3}}^{16}\left [16-\big (4x \big )^{\frac 23} \right ]^{\frac 32}\, dx = \pi-\frac{3\sqrt{3}}{2}\approx 0.54352[/math] Но, конечно, через параметрические формы найти площадь намного проще. Я же получил верный ответ и это облегчает задание. |
||
| Вернуться к началу | ||
| SzaryWilk |
|
|
|
Ну что ж, решим и последнюю задачу. Похожий пример и формула здесь.
Данная кривая - кардиоида, Вы наверное не раз видели ее в чашке чая или кофе. ![]() Вычислим площадь этого "сердца" [math]|A|=\frac{1}{2}}\int_0^{2\pi}(4(1-\cos\varphi))^2d\varphi =...= 24\pi[/math] ![]() P.S. Если в примере б) (Avgust, спасибо!) хотим вычислить площадь по формуле для параметрических кривых [math]|A|=\int_{\alpha}^{\beta} y(t)x'(t)dt[/math] ,томожем сделать так: Для начала заметим, что так как [math]\sin[/math] и [math]\cos[/math] - периодические функции, то достаточно рассмотреть данную кривую на отрезке [math][0,2\pi][/math], а поскольку кривая симметрична относительно оси [math]0x[/math], то достаточно вычислить площадь части расположенной над осью [math]0x[/math], т.е. при [math]t\in[0,\pi][/math], а результат умножить на 2. ![]() Находим значение [math]t\in[0,\pi][/math], при которым данная кривая и прямая пересекаются: [math]t=\frac{\pi}{6}[/math] и получаем [math]|A|=2\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^3t\cdot 3\cdot 16\cos^2t\sin t\,dt=96\int_0^{\frac{\pi}{6}}\sin^4t\cos^2t\,dt=...=\pi-\frac{3}{2}\sqrt 3[/math] |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: Alexdemath, mad_math |
||
| on746 |
|
|
|
спасибо большое ребята
|
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |