Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
jorki |
|
|
Мне кажется что она не должна быть интегрируема, но не могу подобрать пример доказывающий мое предположение. Скорее всего в качестве f(x) нужно взять какую-то измененную функцию Дирихле. |
||
Вернуться к началу | ||
Human |
|
|
На самом деле функция [math]f(x)[/math] будет интегрируемой на отрезке [math][-1;1][/math].
Пусть [math]g(y)=f(\sin y),\ y\in\left[-\pi;\pi][/math]. Тогда [math]f(x)=g(\arcsin x),\ x\in[-1;1][/math]. Функция [math]g(y)[/math] интегрируема на отрезке [math][-\pi;\pi][/math], значит она интегрируема на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], а это по критерию Римана означает, что [math]g(y)[/math] ограничена и что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует такое разбиение [math]\tau=\{y_i\}_{i=0}^{\infty}[/math] отрезка [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\varepsilon[/math], где [math]S_{\tau}[/math] и [math]s_{\tau}[/math] - верхняя и нижняя суммы Дарбу, или [math]\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math] Пусть [math]x_i=\sin y_i[/math]. Тогда, поскольку функция [math]\sin y[/math] непрерывна и строго возрастает на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], отрезок [math][x_{i-1};x_i][/math] взаимно однозначно сопоставляется с отрезком [math][y_{i-1};y_i][/math], поэтому с учётом равенства [math]f(x)=g(\arcsin x)[/math] получаем, что множество значений функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][x_{i-1};x_i][/math] совпадает со множеством значений функции [math]g(y)[/math] на отрезке [math][y_{i-1};y_i][/math], отсюда [math]\sup_{[y_{i-1};y_i]}g=\sup_{[x_{i-1};x_i]}f,\ \inf_{[y_{i-1};y_i]}g=\inf_{[x_{i-1};x_i]}f[/math] Кроме того, [math]\sin\left(-\frac{\pi}2\right)=-1,\ \sin\frac{\pi}2=1[/math], то есть множество точек [math]\{x_i\}_{i=0}^n[/math] есть разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math]. В итоге [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[x_{i-1};x_i]}f-\inf_{[x_{i-1};x_i]}f\right)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(\sin y_i-\sin y_{i-1})\leqslant\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math] (здесь я воспользовался известным неравенством [math]|\sin x-\sin y|\leqslant|x-y|[/math]) Итак, мы получили, что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math] такое, что [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\varepsilon[/math], значит функция [math]f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][-1;1][/math]. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: Alexdemath, jorki |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Теоретический вопрос
в форуме Линейная и Абстрактная алгебра |
3 |
207 |
12 ноя 2022, 18:41 |
|
Теоретический вопрос по термодинамике
в форуме Школьная физика |
4 |
735 |
09 ноя 2014, 18:44 |
|
Небольшой теоретический вопрос | 0 |
260 |
15 май 2014, 21:45 |
|
Теоретический вопрос про равномерную непрерывность
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
16 |
1006 |
04 июл 2019, 07:39 |
|
Взаимодействие трех токов, теоретический вопрос
в форуме Электричество и Магнетизм |
1 |
355 |
19 май 2017, 18:04 |
|
Залез в теоретический раздел
в форуме Размышления по поводу и без |
0 |
249 |
21 май 2016, 00:11 |
|
Теоретический раздел. Что за литература? | 5 |
507 |
30 янв 2017, 15:23 |
|
Найдите вероятность того, что один из них был теоретический
в форуме Теория вероятностей |
9 |
668 |
07 июн 2018, 17:43 |
|
Вопрос
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
2 |
281 |
19 фев 2017, 18:50 |
|
Вопрос
в форуме Алгебра |
2 |
245 |
20 фев 2017, 19:15 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |