Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Теоретический вопрос
СообщениеДобавлено: 05 июн 2013, 17:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
05 июн 2013, 16:45
Сообщений: 9
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дана функция f(sin(x)), известно что она интегрируема на [-пи;пи], верно ли что функция f(x) обязана быть интегрируемой на [-1;1]?
Мне кажется что она не должна быть интегрируема, но не могу подобрать пример доказывающий мое предположение. Скорее всего в качестве f(x) нужно взять какую-то измененную функцию Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Теоретический вопрос
СообщениеДобавлено: 06 июн 2013, 06:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4112
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
На самом деле функция [math]f(x)[/math] будет интегрируемой на отрезке [math][-1;1][/math].

Пусть [math]g(y)=f(\sin y),\ y\in\left[-\pi;\pi][/math]. Тогда [math]f(x)=g(\arcsin x),\ x\in[-1;1][/math]. Функция [math]g(y)[/math] интегрируема на отрезке [math][-\pi;\pi][/math], значит она интегрируема на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], а это по критерию Римана означает, что [math]g(y)[/math] ограничена и что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует такое разбиение [math]\tau=\{y_i\}_{i=0}^{\infty}[/math] отрезка [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], что [math]S_{\tau}-s_{\tau}<\varepsilon[/math], где [math]S_{\tau}[/math] и [math]s_{\tau}[/math] - верхняя и нижняя суммы Дарбу, или

[math]\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math]

Пусть [math]x_i=\sin y_i[/math]. Тогда, поскольку функция [math]\sin y[/math] непрерывна и строго возрастает на отрезке [math]\left[-\frac{\pi}2;\frac{\pi}2\right][/math], отрезок [math][x_{i-1};x_i][/math] взаимно однозначно сопоставляется с отрезком [math][y_{i-1};y_i][/math], поэтому с учётом равенства [math]f(x)=g(\arcsin x)[/math] получаем, что множество значений функции [math]f(x)[/math] на отрезке [math][x_{i-1};x_i][/math] совпадает со множеством значений функции [math]g(y)[/math] на отрезке [math][y_{i-1};y_i][/math], отсюда

[math]\sup_{[y_{i-1};y_i]}g=\sup_{[x_{i-1};x_i]}f,\ \inf_{[y_{i-1};y_i]}g=\inf_{[x_{i-1};x_i]}f[/math]

Кроме того, [math]\sin\left(-\frac{\pi}2\right)=-1,\ \sin\frac{\pi}2=1[/math], то есть множество точек [math]\{x_i\}_{i=0}^n[/math] есть разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math]. В итоге

[math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[x_{i-1};x_i]}f-\inf_{[x_{i-1};x_i]}f\right)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(\sin y_i-\sin y_{i-1})\leqslant\sum_{i=1}^n\left(\sup_{[y_{i-1};y_i]}g-\inf_{[y_{i-1};y_i]}g\right)(y_i-y_{i-1})<\varepsilon[/math]

(здесь я воспользовался известным неравенством [math]|\sin x-\sin y|\leqslant|x-y|[/math])

Итак, мы получили, что для любого [math]\varepsilon>0[/math] существует разбиение [math]\tau_0[/math] отрезка [math][-1;1][/math] такое, что [math]S_{\tau_0}-s_{\tau_0}<\varepsilon[/math], значит функция [math]f(x)[/math] интегрируема на отрезке [math][-1;1][/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Alexdemath, jorki
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Теоретический вопрос

в форуме Линейная и Абстрактная алгебра

Dr_Zet

3

207

12 ноя 2022, 18:41

Теоретический вопрос по термодинамике

в форуме Школьная физика

Appolinariya

4

735

09 ноя 2014, 18:44

Небольшой теоретический вопрос

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

webstorm

0

260

15 май 2014, 21:45

Теоретический вопрос про равномерную непрерывность

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Kosiposha

16

1006

04 июл 2019, 07:39

Взаимодействие трех токов, теоретический вопрос

в форуме Электричество и Магнетизм

LamyFromSafari

1

355

19 май 2017, 18:04

Залез в теоретический раздел

в форуме Размышления по поводу и без

Kuhlmann-Ivanovich

0

249

21 май 2016, 00:11

Теоретический раздел. Что за литература?

в форуме Литература и Онлайн-ресурсы по математике

Student Studentovich

5

507

30 янв 2017, 15:23

Найдите вероятность того, что один из них был теоретический

в форуме Теория вероятностей

LikaLika

9

668

07 июн 2018, 17:43

Вопрос

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

Aseltest

2

281

19 фев 2017, 18:50

Вопрос

в форуме Алгебра

ivashenko

2

245

20 фев 2017, 19:15


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved