Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
maxwmz |
|
||
После замены y = ln(x) получаем такой интеграл: или Вопрос в том, что делать дальше. Скажем даже, что с абсолютной сходимостью все более-менее понятно, ибо можно показать, что для каждого промежутка от 2pi*k до pi+2pi*k площадь под графиком каждый раз увеличивается. А что делать с обычной сходимостью — пока не понятно. |
|||
Вернуться к началу | |||
SzaryWilk |
|
|
Как исследовать не вычисляя, не знаю, но этот интеграл берется легко:
[math]I= \int\frac{\sin(\log x)}{\sqrt x}dx= 2\sqrt x\sin(\log)-2\int\frac{\sqrt x}{x}\cos(\log x) dx=2\sqrt x\sin(\log x)-2\int\frac{\cos(\log x)}{\sqrt x} dx=[/math] [math]= 2\sqrt x\sin(\log x)-2\Big(2\sqrt x\cos(\log x)+2\int\frac{\sqrt x}{x}\sin(\log x)dx\Big)= 2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)-4I[/math] [math]5I=2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)[/math] [math]I=\frac{2}{5}\sqrt x(\sin(\log x)-2\cos(\log} x))+C[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: maxwmz |
||
Human |
|
||
Можно ещё критерием Коши воспользоваться. Функция [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}[/math] монотонно возрастает, поэтому, скажем, при [math]y\geqslant1[/math] имеем [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}\geqslant e^{\frac12}-e^{-\frac12}=\varepsilon>0[/math]. Тогда
[math]\left|\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\sin y(e^{\frac y2}-e^{-\frac y2})\,dy\right|\geqslant\varepsilon\int\limits_0^{\pi}\sin y\,dy=2\varepsilon>0[/math] а точки [math]x_1=2\pi n,\ x_2=2\pi n+\pi[/math] можно выбирать сколь угодно близко к бесконечности благодаря произвольности [math]n[/math]. По критерию Коши отсюда следует расходимость. Описанный приём работает весьма часто для интегралов вида [math]\int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx[/math] где [math]f(x)[/math] периодична, а [math]g(x)\geqslant\varepsilon>0[/math] на [math][a;+\infty)[/math]. Последний раз редактировалось Human 28 май 2013, 14:02, всего редактировалось 1 раз. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали: maxwmz |
|||
Human |
|
||
maxwmz, ещё одно замечание: если Вы исследуете интеграл на сходимость в несобственном смысле, и у него особенность в обоих концах интервала, то нужно разбивать интервал на два и исследовать на сходимость уже на интервалах с одной особенностью. Исходный интеграл при этом считается сходящимся, если сходятся интегралы на обоих интервалах разбиения.
Это я к тому, что переход от интеграла [math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math] к интегралу [math]\int\limits_0^{+\infty}(f(x)+f(-x))\,dx[/math] может превратить его из расходящегося в сходящийся. В этом случае говорят, что интеграл [math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math] сходится в смысле главного значения. Мне, соответственно, тоже замечание, что не увидел этого раньше и написал решение для выписанного Вами интеграла. Но как метод он всё равно остаётся в силе. |
|||
Вернуться к началу | |||
maxwmz |
|
||
SzaryWilk, спасибо за помощь. В итоге я взял интеграл. Правда, не этот, а с замененной переменной.
Human, я решил так: посчитал, чему равен неопр. интеграл, нашел значение опр. интеграла с границами 2pi*k и 2pi*(k+1) как функцию от k. Поэтому исходный интеграл равен сумме ряда значений таких интегралов для k = 0, 1, 2, ... Так оказалось, что член ряда стремится к минус бесконечности при k стремящемся к нулю. Отсюда сделал вывод, что интеграл расходится. Что касается замечания. Я так понимаю, что мой интеграл правильнее разбить на сумму двух, в каждом из которых будет по одной экспоненте. Тогда интеграл, где экспонента в степени x/2 расходится по аналогичным причинам. А тот, где в степени -x/2, сходится по признаку Дирихле. |
|||
Вернуться к началу | |||
[ Сообщений: 5 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 27 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |