Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать интеграл на условную сходимость
СообщениеДобавлено: 27 май 2013, 20:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2013, 20:04
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте. Задача: исследовать интеграл на условную сходимость.
Изображение

После замены y = ln(x) получаем такой интеграл:
Изображение или Изображение

Вопрос в том, что делать дальше. Скажем даже, что с абсолютной сходимостью все более-менее понятно, ибо можно показать, что для каждого промежутка от 2pi*k до pi+2pi*k площадь под графиком каждый раз увеличивается. А что делать с обычной сходимостью — пока не понятно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать интеграл на условную сходимость
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 05:13 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 01:18
Сообщений: 557
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
566 раз в 381 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как исследовать не вычисляя, не знаю, но этот интеграл берется легко:

[math]I= \int\frac{\sin(\log x)}{\sqrt x}dx= 2\sqrt x\sin(\log)-2\int\frac{\sqrt x}{x}\cos(\log x) dx=2\sqrt x\sin(\log x)-2\int\frac{\cos(\log x)}{\sqrt x} dx=[/math]

[math]= 2\sqrt x\sin(\log x)-2\Big(2\sqrt x\cos(\log x)+2\int\frac{\sqrt x}{x}\sin(\log x)dx\Big)= 2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)-4I[/math]

[math]5I=2\sqrt x\sin(\log x)-4\sqrt x\cos(\log x)[/math]


[math]I=\frac{2}{5}\sqrt x(\sin(\log x)-2\cos(\log} x))+C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
maxwmz
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать интеграл на условную сходимость
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 14:11 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3998
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно ещё критерием Коши воспользоваться. Функция [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}[/math] монотонно возрастает, поэтому, скажем, при [math]y\geqslant1[/math] имеем [math]e^{\frac y2}-e^{-\frac y2}\geqslant e^{\frac12}-e^{-\frac12}=\varepsilon>0[/math]. Тогда

[math]\left|\int\limits_{2\pi n}^{2\pi n+\pi}\sin y(e^{\frac y2}-e^{-\frac y2})\,dy\right|\geqslant\varepsilon\int\limits_0^{\pi}\sin y\,dy=2\varepsilon>0[/math]

а точки [math]x_1=2\pi n,\ x_2=2\pi n+\pi[/math] можно выбирать сколь угодно близко к бесконечности благодаря произвольности [math]n[/math]. По критерию Коши отсюда следует расходимость.

Описанный приём работает весьма часто для интегралов вида

[math]\int\limits_a^{+\infty}f(x)g(x)\,dx[/math]

где [math]f(x)[/math] периодична, а [math]g(x)\geqslant\varepsilon>0[/math] на [math][a;+\infty)[/math].


Последний раз редактировалось Human 28 май 2013, 15:02, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
maxwmz
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать интеграл на условную сходимость
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 15:00 
В сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3998
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1776 раз в 1480 сообщениях
Очков репутации: 370

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
maxwmz, ещё одно замечание: если Вы исследуете интеграл на сходимость в несобственном смысле, и у него особенность в обоих концах интервала, то нужно разбивать интервал на два и исследовать на сходимость уже на интервалах с одной особенностью. Исходный интеграл при этом считается сходящимся, если сходятся интегралы на обоих интервалах разбиения.

Это я к тому, что переход от интеграла

[math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math]

к интегралу

[math]\int\limits_0^{+\infty}(f(x)+f(-x))\,dx[/math]

может превратить его из расходящегося в сходящийся. В этом случае говорят, что интеграл [math]\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx[/math] сходится в смысле главного значения.

Мне, соответственно, тоже замечание, что не увидел этого раньше и написал решение для выписанного Вами интеграла. Но как метод он всё равно остаётся в силе.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать интеграл на условную сходимость
СообщениеДобавлено: 28 май 2013, 19:43 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
27 май 2013, 20:04
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
SzaryWilk, спасибо за помощь. В итоге я взял интеграл. Правда, не этот, а с замененной переменной.
Human, я решил так: посчитал, чему равен неопр. интеграл, нашел значение опр. интеграла с границами 2pi*k и 2pi*(k+1) как функцию от k. Поэтому исходный интеграл равен сумме ряда значений таких интегралов для k = 0, 1, 2, ...

Так оказалось, что член ряда стремится к минус бесконечности при k стремящемся к нулю. Отсюда сделал вывод, что интеграл расходится.

Что касается замечания. Я так понимаю, что мой интеграл правильнее разбить на сумму двух, в каждом из которых будет по одной экспоненте. Тогда интеграл, где экспонента в степени x/2 расходится по аналогичным причинам. А тот, где в степени -x/2, сходится по признаку Дирихле.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл

в форуме Интегральное исчисление

murza

1

19

Сегодня, 14:53

Исследовать на условную сходимость

в форуме Ряды

shizdikunchik

1

334

26 дек 2011, 21:56

Исследовать на абсолютную и условную сходимость сходимость

в форуме Ряды

relike

1

552

19 дек 2013, 17:09

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

makc59

1

518

22 июл 2014, 23:07

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

Seg

2

891

21 янв 2013, 19:03

Исследовать на абсолютную или условную сходимость

в форуме Ряды

Aida

3

331

10 дек 2013, 21:54

Исследовать на абсалютную и условную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

katusha777

1

176

20 окт 2013, 10:46

Исследовать на условную и постоянную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

kep123

1

100

09 июн 2015, 13:20

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

BlackShtorm

5

607

04 июн 2012, 13:05

Исследовать на абсолютную и условную сходимость.

в форуме Ряды

WhiteSparrow

4

417

13 дек 2011, 23:43


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Human, Igordrrr123 и гости: 35


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved