Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 10 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Wersel |
|
|
|
Решаю так: [math]\int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{6x-x^2} dx = \int\limits_{0}^{2} (x+1)^2 \sqrt{9-(x-3)^2} dx[/math] Далее делаю замену [math]t=x-3[/math], получаю: [math]\int\limits_{-3}^{-1} (t+4)^2 \sqrt{9-t^2} dt[/math] Далее делаю замену [math]t=3\sin(s)[/math], получаю: [math]9 \cdot \int\limits_{-3\sin(3)}^{-3\sin(1)} (3\sin(s)+4)^2 \cos^2(s) ds[/math] Правильно ли я начал? Или можно было как-то рациональнее? И что делать дальше: раскрывать косинус как синус, и честно считать дальше, или можно как-то по-умному сделать? Заранее спасибо за помощь! |
||
| Вернуться к началу | ||
| pewpimkin |
|
|
|
Я бы не делал уже тригонометрическую замену.Разложил бы квадрат и считал три интеграла, тем более два там почти табличные. На первый взгляд
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Wersel |
|
|
|
pewpimkin
Спасибо, хорошая идея, но все равно, как минимум в одном из трех интегралов придется вводить ту же тригонометрию. |
||
| Вернуться к началу | ||
| pewpimkin |
|
|
|
Там, где икс квадрат? Можно по частям
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Wersel |
|
|
|
pewpimkin
Да, он. Но если его брать по частям, то [math]v = \int \sqrt{9-t^2} dt[/math] - а вот он берется без тригонометрии? |
||
| Вернуться к началу | ||
| pewpimkin |
|
|
|
Берется, по частям. Завтра картинку прилеплю
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Wersel |
|
|
|
pewpimkin
Был бы признателен, так как у меня получилось только через тригонометрию. |
||
| Вернуться к началу | ||
| erjoma |
|
|
|
[math]\begin{aligned} \int\limits_0^2 {{{\left( {x + 1} \right)}^2}\sqrt {6x - {x^2}} dx} & = \int\limits_0^2 {\left( {{x^{\frac{5}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + 2{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)} dx = \\[2pt] & = - \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{5}{2}}}}}{4}} \right|_0^2 + \int\limits_0^2 {\left( {\frac{{23}}{4}{x^{\frac{3}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}} + {x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} = \\[2pt] & = - 8\sqrt 2 - \frac{{23}}{4} \cdot \left. {\frac{{{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{3}{2}}}{x^{\frac{3}{2}}}}}{3}} \right|_0^2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_0^2 {{x^{\frac{1}{2}}}{{\left( {6 - x} \right)}^{\frac{1}{2}}}dx} = \left( \begin{gathered} t = x - 3 \hfill \\ dt = dx \hfill \\ \end{gathered} \right) = \\[2pt] & = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \frac{{73}}{4}\int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\sqrt {9 - {t^2}} dt} = - \frac{{116}}{3}\sqrt 2 + \left. {\frac{{73}}{8}t\sqrt {9 - {t^2}} } \right|_{ - 3}^{ - 1} + \left. {\frac{{657}}{8}\arcsin \frac{t}{3}} \right|_{ - 3}^{ - 1} = \\[2pt] & = \frac{{657}}{{16}}\pi - \frac{{683}}{{12}}\sqrt 2 - \frac{{657}}{8}\arcsin \frac{1}{3} \end{aligned}[/math]
P.S. [math]\begin{gathered} {J_{p,q}} = \int {{{\left( {a + bz} \right)}^p}{z^q}dz} \hfill \\ {J_{p,q}} = \frac{{{{\left( {a + bz} \right)}^{p + 1}}{z^q}}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}} - \frac{{aq}}{{b\left( {p + q + 1} \right)}}{J_{p,q - 1}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] [math]\beta>0 \,\colon \int {\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } dx = \frac{1}{2}x\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } + \frac{\beta }{2}} \int {\frac{{dx}}{{\sqrt {\alpha {x^2} + \beta } }}}[/math] Формулы из второго тома "Курса дифференциального и интегрального исчисления" Фихтенгольц Г.М. стр. 54 и 61. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю erjoma "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| pewpimkin |
|
|
|
У меня получилось так. В цифрах мог ошибиться
![]() ![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю pewpimkin "Спасибо" сказали: Wersel |
||
| Wersel |
|
|
|
erjoma
pewpimkin Большое спасибо! |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 10 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Вычислить определенный и не определенный интеграл | 1 |
443 |
05 май 2015, 16:57 |
|
|
Определенный интеграл и несобственный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
11 |
1024 |
14 апр 2015, 20:58 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
265 |
28 дек 2018, 15:20 |
|
|
Определённый интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
419 |
04 май 2015, 19:26 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
410 |
29 апр 2016, 12:05 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
239 |
27 дек 2018, 21:29 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
2 |
305 |
10 янв 2016, 13:49 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
305 |
20 мар 2019, 18:26 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
8 |
347 |
18 янв 2016, 14:31 |
|
|
Определенный интеграл
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
212 |
24 мар 2016, 22:05 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |