Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 17 апр 2013, 15:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 апр 2013, 14:52
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пожалуйста помогите решить:

1) [math]\int\limits_{-2}^{2}\frac{xdx}{2^{x}-4}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 03:56 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Это несобственный интеграл второго рода от знакопеременной функции, имеющей особую точку [math]x=2[/math]. В ней подинтегральная функция обращается в [math]-\infty[/math]. Но его исследование осложняется тем, что первообразная подинтегральной функции не выражается простыми функциями. Поэтому немного преобразуем его:
[math]\begin{aligned}\int\limits_{-2}^2\frac{x}{2^x-4}dx&=\int\limits_{-2}^0\frac{x}{2^x-4}dx-\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx\end{aligned}[/math]

Функция в первом слагаемом [math]f(x)=\frac{x}{2^x-4}[/math] определена и монотонно убывает на промежутке [math][-2;0][/math], следовательно она интегрируема на нем (т.е. значение интеграла конечно). Таким образом сходимость исходного интеграла зависит от второго слагаемого. Рассмотрим его подробнее. Пусть [math]f(x)=\frac{x}{4-2^x}[/math], [math]g(x)=\frac{2}{4-2^x}[/math]; обе эти функции на промежутке [math][0;2)[/math] положительны и [math]0\le f(x) \le g(x)[/math]. Рассмотрим предел [math]\lim_{x\to2}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to2}\frac{\frac{x}{4-2^x}}{\frac{2}{4-2^x}}=\lim_{x\to2}\frac{x}{2}=1[/math], следовательно по признаку сравнения в предельной форме интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] сходится (расходится), если сходится (расходится) интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math].
Исследуем интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math]:
[math]\begin{aligned}\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx&=\int\limits_0^2\frac{4-2^x+2^x}{2\left(4-2^x \right )}dx=\int\limits_0^2\left(\frac{1}{2}+\frac{2^x\ln2}{2\left(4-2^x\right)\ln2} \right )dx=1-\frac{1}{2\ln2}\int\limits_0^2\frac{-2^x\ln2}{4-2^x}dx=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\int\limits_0^td\ln(4-2^x)=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\left(\ln\left(4-2^t\right)-\ln\left(4-2^0 \right)\right)=\\&=1-\frac{1}{\ln4}\lim_{t\to2}\ln\frac{4-2^t}{3}=1-\frac{1}{\ln4}\cdot\ln\frac{4-4}{3}=1-\frac{\ln0}{\ln4}=1-(-\infty)=\infty\end{aligned}[/math]
.

Таким образом, интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{2}{4-2^x}dx[/math] расходится, следовательно интеграл [math]\int\limits_0^2\frac{x}{4-2^x}dx[/math] также расходится, следовательно исходный интеграл также расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
Alexdemath, mad_math, valentina
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 07:50 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, интеграл расходится:

Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 10:00 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну вот опять! Надо ж решить интеграл, а вы тут развели: "сходится", "расходится"...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 10:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math
Там в вопросе об интергале речи не было:
Ivokhina писал(а):
Пожалуйста помогите решить:

Наверное, пример.
PS. Виноват, был заголовок Помогите решить интеграл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 10:08 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю mad_math "Спасибо" сказали:
Ellipsoid
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 13:44 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mad_math писал(а):
Там в заголовке "Как решить интеграл?". А заголовок - это, собственно, визитка, позволяющая понять некоторые вещи о ТС.
Полно Вам ворчать! :) Я и решил... что он расходится. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 13:56 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
15 авг 2010, 15:54
Сообщений: 4482
Cпасибо сказано: 2406
Спасибо получено:
1660 раз в 1251 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А напиши ТС «помогите взять интеграл», так скажут, что это уже собственность форума, мол правила читать надо

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 14:15 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Minotaur

Проще тогда уж и знаменатель заменить:

[math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math].

Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math, Minotaur
 Заголовок сообщения: Re: Как решить интеграл?
СообщениеДобавлено: 18 апр 2013, 14:17 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human писал(а):
Minotaur

Проще тогда уж и знаменатель заменить:

[math]2^x-4=4\left(2^{x-2}-1\right)\sim4(x-2)\ln2[/math] при [math]x\to2[/math].

Всё-таки о сходимости интеграла [math]\int\limits_0^2\frac{dx}{x-2}[/math] судить проще. Кроме того, в предельном признаке сравнения не обязательно сравнивать функции друг с другом, соответствующее неравенство и так будет выполняться в некоторой окрестности особой точки в силу эквивалентности этих функций.

Спасибо, Human. Но с университета не люблю эквивалентности. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Решить интеграл

в форуме Maple

teo63

1

539

09 май 2023, 19:20

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

albanec-93

6

356

04 дек 2023, 12:26

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

mayer

4

373

01 мар 2016, 14:53

Интеграл решить

в форуме Интегральное исчисление

in+yan

2

154

02 июн 2020, 17:12

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

al566

6

467

05 фев 2018, 12:30

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

aleksey22095

3

350

26 апр 2015, 17:42

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Sheyin

2

402

27 апр 2018, 22:24

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

oksi

4

170

08 июн 2020, 18:18

Решить интеграл

в форуме Интегральное исчисление

poil55

5

263

29 май 2018, 19:13

Как решить интеграл?

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

1

195

17 ноя 2015, 10:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved