Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:03 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 19:00
Сообщений: 444
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
149 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\begin{gathered}\int\limits_0^{2\pi}{\frac{{dx}}{{{{\sin}^4}x +{{\cos}^4}x}}}= \int\limits_0^{2\pi}{\frac{{dx}}{{{{\cos}^4}x\left({t{g^4}x + 1}\right)}}}= \int\limits_0^{2\pi}{\frac{{\left({t{g^2}x + 1}\right)dx}}{{{{\cos}^2}x\left({t{g^4}x + 1}\right)}}}= \left| \begin{gathered}tgx = t \hfill \\ \frac{{dx}}{{{{\cos}^2}x}}= dt \hfill \\ \end{gathered}\right| = \hfill \\ = 2\int\limits_0^{+ \infty}{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}+ 2\int\limits_{- \infty}^0{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}= .....??? \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Уже всю голову сломала никак не пойму что делать и как считать интеграл с этими [math]\pm \infty[/math] ... и вообще правильно ли я делаю? Две недели на больничном, мозг иссох а отставать ну никак не хочется

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:16 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дальше логично разложить подынтегральные дроби на простейшие, ну и так далее, все стандартно, в общем говоря. Единственное что - я бы сначала взял неопределенный интеграл, дабы не было геморра с пределами.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:21 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Кстати, может быть получится как-нибудь покрутить тригонометрию, типа как вышло вот тут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:21 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 дек 2011, 19:00
Сообщений: 444
Откуда: Саратов
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
149 раз в 145 сообщениях
Очков репутации: 36

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
нууу неопределенный интеграл вроде такой [math]\int{\frac{{\left({{t^2}+ 1}\right)dt}}{{\left({{t^4}+ 1}\right)}}}= \frac{1}{{\sqrt 2}}\left({arctg\left({\sqrt 2 x + 1}\right) - arctg\left({1 - \sqrt 2 x}\right)}\right)[/math]

но ка считать в [math]\pm \infty[/math]? :shock:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6004
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3158 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
oksanakurb

А что значения арктангенса в этих пределах - это тайна?

Можно ещё сделать такое преобразование

[math]\sin^4x+\cos^4x= \sin^4x+2\sin^2x\cos^2x+\cos^4x-2\sin^2x\cos^2x=[/math]

[math]=1-\frac{1}{2}\sin^22x= \frac{1}{2}(\sin^22x+2\cos^22x)= \left[\left(\frac{\operatorname{tg}x}{\sqrt{2}}\right)^2+1\right]\cos^22x[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:28 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так же, исходный интеграл можно свести к [math]\int \frac{-4 dt}{\cos(4t)-3}[/math] заменой [math]x=t + \frac{\pi}{4}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
Alexdemath
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 15:29 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
oksanakurb
[math]\lim\limits_{x \to \pm \infty} arctg(x) = \pm \frac{\pi}{2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Замена переменной в определенном интеграле
СообщениеДобавлено: 27 мар 2013, 16:04 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В Демидовиче есть такой интеграл, может помочь.
[math]\int {\frac{{{x^2} + 1}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int {\frac{{{x^2}\left( {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)}}{{{x^4} + 1}}dx} = \int {\frac{1}{{2 + {{\left( {x - \frac{1}{x}} \right)}^2}}}d\left( {x - \frac{1}{x}} \right)} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}arctg\frac{{{x^2} - 1}}{{x\sqrt 2 }} + C[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 8 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Замена переменной в определённом интеграле

в форуме Интегральное исчисление

sfanter

0

200

26 янв 2016, 16:26

Замена переменной в интеграле

в форуме Алгебра

Login V

6

670

25 янв 2021, 19:12

Замена переменной в несобственном интеграле

в форуме Интегральное исчисление

famesyasd

0

310

10 сен 2016, 07:45

Квадратный трехчлен в определенном интеграле

в форуме Интегральное исчисление

agassi

10

370

05 июл 2018, 06:02

Замена переменных в интеграле

в форуме Интегральное исчисление

dddsss

4

223

02 июн 2019, 19:08

Какая замена в интеграле

в форуме Интегральное исчисление

tanyhaftv

13

488

26 фев 2018, 00:31

Приставка dx в интеграле и замена переменных

в форуме Размышления по поводу и без

nowhereandnever

5

383

15 июл 2021, 08:39

Замена переменной

в форуме Интегральное исчисление

alla1501

7

440

29 апр 2016, 15:30

Замена на полярные координаты в двойном интеграле

в форуме Интегральное исчисление

getshaky

3

276

15 сен 2017, 16:37

Дифференциальное уравнение, замена переменной

в форуме Дифференциальное исчисление

amandra

0

203

14 июл 2019, 14:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved