Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 22 мар 2013, 21:15 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2013, 22:21
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите пожалуйста найти площадь фигуры ограниченной кривыми

[math]r=2 \cdot cos \phi[/math]
[math]r=2 \cdot( cos \phi + sin \phi)[/math]

Желательно расписать подробное решение (просто мне такого типа еще много примеров делать, если разберусь с одним, то остальные думаю сам смогу сделать).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 22 мар 2013, 22:01 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Задачу легче всего решать в полярных координатах, но для лучшего понимания решу в декартовых. Первое уравнение - это окружность радиусом 1 с центром (1;0). Второе уравнение - окружность радиусом [math]\sqrt{2}[/math] с центром (1;1). См. рис.

Изображение

Нужная площадь - это половина малого круга, то есть [math]S_1=\frac{\pi}{2}[/math]

плюс площадь, выраженная интегралом

[math]S_2=\bigg | \int \limits_0^2 -\sqrt{2-(x-1)^2} +1\, dx\bigg |=\frac{\pi}{2}-1[/math]

Вся площадь: [math]S=S_1+S_2=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-1=\pi-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
zorro
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 22 мар 2013, 22:11 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2013, 22:21
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust, спасибо большое, все понял. Если вам не сложно не могли бы вы расписать решение в полярных координатах?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 10:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Я ошибся в малой окружности. Затмение ночное. Нужно так:

Изображение

Площадь выделенной области : [math]S=\frac{\pi}{4}-S_1={\frac {7}{16}}\,\pi -\frac 12 - \frac 18\,\arcsin \left( \frac 35 \right) -\arcsin \left( \frac {\sqrt {2}}{10}\, \right)\approx 0.6521[/math]

В полярных координатах нет желания вычислять. Ну, не люблю я их! :D1

А, впрочем, все просто:

[math]S=\frac{\pi}{4}- \bigg |\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{2}} ^{-arctg(0.5)} \cos^2(t)\, dt -\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}} ^{-arctg(0.5)} 4 \big [\cos(t)+sin(t) \big ]^2 \, dt \bigg |=\frac{5\pi}{8}-\frac 12-\frac 74 \, arctg (0.5) \approx 0.6521[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
zorro
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 12:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ой, опять затмение. Верный все же первый рисунок !!! :ROFL:
Для него в полярный координатах - раз плюнуть сделать. Второй вариант [math]\big [[/math]где я ошибочно принял [math]r=cos(t) \, \big ][/math] на порядок сложнее.

Для первого (правильного) варианта:

[math]S_2=\frac 12 \int \limits_{-\frac{\pi}{4}}^0 4 \big [ \cos(t)+\sin(t) \big ]^2 \, dt=\frac{\pi}{2}-1[/math]

Вся площадь [math]S=\pi-1[/math]
----------------------------------------------------
PS. Я же говорил, что полярные координаты проще!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
zorro
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 14:06 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2013, 22:21
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насколько я понял вы вычисляли [math]r=2 \ctod(cos\phi + sin\phi)[/math] по формуле:
[math]s= \frac{ 1 }{ 2 }\int\limits_{ \phi1 }^{ \phi2 }r^{2}( \phi )d \phi[/math]
Но мне не очень понятно как вы узнали пределы интегрирования, как вы вычисляли: [math]r=2\ctod cos\phi[/math]
и почему конечный ответ [math]\pi -1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 15:11 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что значит, как я вычислял [math]r=2 \cos(t)[/math] ? Лично я прекрасно знаю кривые от таких простеньких функций. Вы можете убедиться в верности, подставив вместо [math]r \, \to \, \sqrt{x^2+y^2}[/math] и вместо [math]\cos(t) \, \to \, \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}[/math]. В результате в декартовых координатах построите две ветви окружности.

Пределы интегрирования нахожу анализируя графики. Например [math]\bigg (-\frac{\pi}{4} \bigg )[/math] - это угол наклона касательной большой окружности к оси 0Х в точке (0;0) - см. рис:
Изображение

Конечный ответ я объяснил в своем первом посте. Прощадь S есть сумма половины круга малого диаметра (его площадь [math]\frac{\pi}{2}[/math]) и площади [math]S_2[/math] , найденной интегрированием: [math]S=\frac{\pi}{2}+\bigg (\frac{\pi}{2}-1\bigg )= \pi-1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
zorro
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 17:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
18 мар 2013, 22:21
Сообщений: 20
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Все, вроде разобрался, спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти площадь
СообщениеДобавлено: 23 мар 2013, 17:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13571
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1293
Спасибо получено:
3625 раз в 3182 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И Вам спасибо за интересную задачу :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 9 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

Fima

0

217

24 дек 2015, 17:01

Найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

Fima

0

169

24 дек 2015, 17:05

Найти площадь

в форуме Геометрия

Rost

1

379

07 фев 2015, 17:20

Как найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

pewpimkin

4

419

20 апр 2016, 00:35

Найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

DeD

2

325

04 янв 2017, 22:57

Найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

xsottel

3

261

27 сен 2017, 18:49

Найти площадь

в форуме Интегральное исчисление

Yabereza2603

9

353

28 апр 2019, 22:55

Найти площадь фигуры

в форуме Интегральное исчисление

KLEver

1

587

14 апр 2017, 23:40

Найти площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

dfkfljhy

1

493

29 янв 2016, 12:12

Найти площадь поверхности

в форуме Интегральное исчисление

genia2030

1

296

08 ноя 2017, 19:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved