Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 18:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Необходимо установить сходится или расходится интеграл: [math]\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}[/math].

[math]\int\limits_{0}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} + \int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}}[/math]

Первый интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} \int\limits_{0}^{\epsilon} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1-0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-0)^{\frac{2}{3}}) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}[/math]

Второй интеграл:

[math]\int\limits_{1}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} \int\limits_{\epsilon}^{2} \frac{dx}{\sqrt[3]{1-x}} = \lim\limits_{\epsilon \to 1+0} (-\frac{3}{2} \cdot (1-2)^{\frac{2}{3}} + \frac{3}{2} \cdot (1-\epsilon)^{\frac{2}{3}}) = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}} + +0 = -\frac{3}{2} \cdot (-1)^{\frac{2}{3}}[/math]

Область определения [math]f(x) = x^{\frac{2}{3}}$[/math] - луч [math]$[0;+\infty)[/math], то есть второй интеграл расходится, и, соответственно исходный интеграл расходится.

Но что-то мне подсказывает, что второй интеграл таки будет сходится и равен [math]-\frac{3}{2}[/math], и исходный будет сходится, и равен [math]\frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0[/math]

Помогите дойти до истины, пожалуйста :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 19:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel писал(а):
Область определения [math]f(x) = x^{\frac{2}{3}}[/math] - луч [math][0;+\infty)[/math], то есть второй интеграл расходится


Не путайте арифметический корень с рациональной степенью. Изначально Вам дан именно арифметический корень нечётной степени, а он определён везде.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Wersel
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 19:49 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 18:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Изначально - да, но пределы интегрирования мы же подставляем в первообразную. Или Вы имели ввиду, что, если изначально было [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}[/math], то [math](1-x)^{\frac{2}{3}}[/math] можно трактовать как [math]\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math] ?

Мне тут подсказали красивый вариант: [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{x-1}}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Несобственный интеграл
СообщениеДобавлено: 09 мар 2013, 19:58 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 4071
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1796 раз в 1498 сообщениях
Очков репутации: 374

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Wersel писал(а):
Изначально - да, но пределы интегрирования мы же подставляем в первообразную. Или Вы имели ввиду, что, если изначально было [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}}[/math], то [math](1-x)^{\frac{2}{3}}[/math] можно трактовать как [math]\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math]


Я имел в виду, что функция [math]\frac1{\sqrt[3]{1-x}}[/math] определена при всех значениях [math]x\ne1[/math] и тем более интегрируема в несобственном смысле на отрезке [math][1,2][/math]. Её первообразная на этом отрезке есть [math]-\frac32\sqrt[3]{(1-x)^2}[/math], а не [math]-\frac32(1-x)^{\frac23}[/math].

Wersel писал(а):
Мне тут подсказали красивый вариант: [math]\frac{1}{\sqrt[3]{1-x}} = \frac{-1}{\sqrt[3]{x-1}}[/math]


Можно и так.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
Wersel
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

int64

4

116

19 май 2016, 21:35

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Maik

1

79

20 мар 2017, 19:18

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

erera

1

103

20 май 2015, 13:16

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

kabank

1

80

02 мар 2017, 15:55

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Enosha

4

129

28 май 2014, 21:12

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

BlackBird

6

134

25 май 2015, 11:33

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Merhaba

7

330

08 ноя 2012, 23:12

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

zayac555

5

220

24 окт 2013, 23:11

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

SAVANTOS

15

344

06 ноя 2015, 21:26

Несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

boode

3

102

24 мар 2017, 14:20


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved